วิธีแก้ 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

ตอบ:

เราสามารถแก้คำถามนี้ได้อย่างชัดเจน

คำอธิบาย:

สมการที่กำหนด # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # สามารถเขียนใหม่เป็น

# 2e ^ (x) = 7-2x #

ตอนนี้รับทั้งสองเป็นฟังก์ชันแยกกัน

# f (x) = 2e ^ (x) # และ #g (x) = 7-2x # และพล็อตกราฟของพวกเขา ของพวกเขา จุดตัด จะเป็น สารละลาย สมการที่กำหนด # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

ดังแสดงด้านล่าง: -

ตอบ:

เกินกว่าพีชคณิตมัธยมปลายคนนี้และวิธีที่ดีที่สุดในการแก้ไขคือถาม Wolfram Alpha ผู้ตอบคำถาม #x ประมาณ. 94 #.

คำอธิบาย:

แก้

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

คำถามเช่นนี้เป็นเรื่องยากทั่วไปและคำตอบนั้นขึ้นอยู่กับว่าคุณอยู่ในพีชคณิตในโรงเรียนมัธยมหรือลึกกว่าในวิชาคณิตศาสตร์

สำหรับโรงเรียนมัธยมวิธีที่ดีที่สุดคือลองตัวเลขเล็ก ๆ และดูว่าพวกเขาทำงานหรือไม่ (วิธีนี้ใช้ได้ผลกับปัญหาคณิตศาสตร์ในโรงเรียนมัธยมหลายแห่ง fyi) มีเพียงเหตุผลเดียวเท่านั้น # x # ที่ทำให้ # อี ^ x # มีเหตุผล, # x = 0 #ซึ่งไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา ดังนั้นการคาดเดาจะไม่ทำงานที่นี่

หากการประมาณดีพอเราสามารถวาดกราฟหรือกราฟได้ # 2e ^ x # และ # 7-2x # และดูว่าพวกเขาพบกันที่ไหน

ไม่ว่าคุณจะอยู่ในระดับใดเมื่อเผชิญหน้ากับสิ่งที่ยากเช่นนี้มันเป็นเรื่องดีที่จะถามผู้เชี่ยวชาญที่มีอยู่ซึ่งก็คือ Wolfram Alpha

เราเห็นว่าอัลฟ่าให้คำตอบโดยประมาณใกล้กับ 1 และแม้แต่สูตรที่ใช้ W (x) ซึ่งบันทึกผลิตภัณฑ์แลมเบิร์ตซึ่งไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย

ไม่มีคำตอบในการใช้ฟังก์ชั่นและการดำเนินงานปกติที่เรารู้ในพีชคณิตมัธยม โดยทั่วไปเมื่อเราเพิ่มคำด้วย # x # ในเลขชี้กำลังหนึ่งที่ # x # ปรากฏเป็นพลังงานเชิงเส้นหรือสูงกว่า

นั่นคือจุดสิ้นสุดของคำตอบสำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ แต่เราสามารถไปได้ลึกกว่า บันทึกผลิตภัณฑ์เป็นฟังก์ชั่นที่น่าสนใจพิจารณาสมการ

#k = xe ^ x #

ทางด้านขวาเป็นฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นของ # x #ดังนั้นมันจะข้าม # k # ไม่ช้าก็เร็ว. การบันทึกไม่ได้รับเราทุกที่: #ln k = ln x + x #.

เราต้องการบางอย่างเช่นบันทึก แต่ไม่ใช่สิ่งที่ตรงกันข้าม # อี ^ x #. มันต้องเป็นสิ่งที่ตรงกันข้าม # XE ^ x #. ที่เรียกว่าบันทึกผลิตภัณฑ์หรือฟังก์ชั่น Lambert W หมายถึง:

#k = xe ^ x # มีทางออกที่แท้จริง #x = W (k) #.

เราจะ จำกัด ความสนใจของเราไปที่ reals มันสนุกที่ได้ลองค้นหา # W '#คุณสมบัติของ พื้นฐานที่เราได้รับคือ

#W (xe ^ x) = x #

มาลองกัน # x = เจ้า ^ Y # ในดังต่อไปนี้ #W (x) y = #. ตอนนี้

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

มันเท่ห์มาก เกี่ยวกับ

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)} #

จดบันทึก

# W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln W (x) = ln x - W (x) รูปสี่เหลี่ยม # สมมติว่ามีการกำหนดบันทึก

ตอนนี้คุณเห็นว่ามันทำงานอย่างไรกับ W ดูว่าคุณสามารถใช้มันเพื่อแก้สมการหรือตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาของอัลฟ่า

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #