Int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx คืออะไร

ตอบ:

#= 1/4#

คำอธิบาย:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1 / 4ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1/4 #

ตอบ:

#1/4#

คำอธิบาย:

สามารถทำได้หลายวิธีต่อไปนี้เป็นสองวิธี สิ่งแรกคือการใช้การทดแทน:

#color (สีแดง) ("วิธีที่ 1") #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 int_1 ^ e (ln (x)) / (x) dx #

ปล่อย #u = ln (x) หมายถึง du = (dx) / x #

เปลี่ยนข้อ จำกัด:

#u = ln (x) หมายถึง u: 0 rarr 1 #

ปริพันธ์กลายเป็น:

# 1 / 2int_0 ^ 1 u du = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4 #

นี่เป็นวิธีที่ง่ายกว่า แต่คุณอาจไม่สามารถทดแทนได้เสมอไป อีกทางเลือกหนึ่งคือการรวมเป็นส่วน ๆ

#color (แดง) ("วิธีที่ 2") #

ใช้การรวมตามส่วนต่าง ๆ:

สำหรับฟังก์ชั่น #u (x), v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

#u (x) = ln (x) หมายถึง u '(x) = 1 / x #

#v '(x) = 1 / (2x) หมายถึง v (x) = 1 / 2ln (x) #

#int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) - int (ln (x)) / (2x) dx #

การจัดกลุ่มคำที่ชอบ:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) + C #

#therefore int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + C #

เรากำลังทำงานกับอินทิกรัล จำกัด เขตดังนั้นใช้ขอบเขตและลบค่าคงที่:

#int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) _ 1 ^ e #

# = 1 / 4ln (e) ln (e) - 1 / 4ln (1) ln (1) #

#ln (e) = 1, ln (1) = 0 #

#implies int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 #