ความหมายของรูปแบบไม่แน่นอนคืออะไร? และถ้าเป็นไปได้รายการของแบบฟอร์มที่ไม่แน่นอนทั้งหมดหรือไม่

ประการแรกไม่มีตัวเลขที่ไม่แน่นอน

มีตัวเลขและมีคำอธิบายที่ดูเหมือนว่าพวกเขาอาจจะอธิบายตัวเลข แต่พวกเขาไม่ได้

"จำนวน # x # ที่ทำให้ # x + 3 = x-5 #"เป็นคำอธิบายเช่นเดียวกับที่เป็น" หมายเลข #0/0#.'

ที่ดีที่สุดคือหลีกเลี่ยงการพูด (และคิด) ว่า "#0/0# เป็นจำนวนที่ไม่แน่นอน"

ในบริบทของการ จำกัด:

เมื่อประเมินขีด จำกัด ของฟังก์ชัน "สร้าง" โดยการรวมฟังก์ชันเชิงพีชคณิตเราใช้คุณสมบัติของข้อ จำกัด

นี่คือบางส่วนของ สังเกตเงื่อนไขที่ระบุไว้ในตอนต้น

ถ้า #lim_ (xrarra) f (x) # มีอยู่และ #lim_ (xrarra) กรัม (x) # ที่มีอยู่

แล้วก็

#lim_ (xrarra) (f (x) + g (x)) = lim_ (xrarra) f (x) + lim_ (xrarra) g (x) #

#lim_ (xrarra) (f (x) -g (x)) = lim_ (xrarra) f (x) - lim_ (xrarra) g (x) #

#lim_ (xrarra) (f (x) g (x)) = lim_ (xrarra) f (x) lim_ (xrarra) g (x) #

#lim_ (xrarra) f (x) / g (x) = (lim_ (xrarra) f (x)) / (lim_ (xrarra) g (x)) # โดยมีเงื่อนไขว่า #lim_ (xrarra) g (x)! = 0 #

โปรดทราบว่าเราใช้สัญกรณ์: #lim_ (xrarra) f (x) = oo # เพื่อระบุว่าขีด จำกัด ไม่มีอยู่ แต่เรากำลังอธิบายเหตุผล (ตาม #xrarra, #f (x) เพิ่มขึ้นโดยไม่มีข้อผูกมัด)

หากหนึ่ง (หรือทั้งสอง) ของข้อ จำกัด #lim_ (xrarra) f (x) # และ #lim_ (xrarra) กรัม (x) # ล้มเหลวในการมีอยู่แล้วแบบฟอร์มที่เราได้รับจากคุณสมบัติขีด จำกัด อาจไม่แน่นอน แม้ว่ามันจะไม่จำเป็นต้องกำหนด

ตัวอย่างที่ 1:

# f (x) = 2x + 3 #และ #g (x) = x ^ 2 + x #และ A = # 2 #

#lim_ (xrarr2) f (x) = 7 # และ #lim_ (xrarr2) g (x) = 6 #.

ค่าของขีด จำกัด:

#lim_ (xrarr2) (f (x) + g (x)) # ถูกกำหนดโดยรูปแบบของผลรวม:

#lim_ (xrarra) f (x) + lim_ (xrarra) g (x) = 7 + 6 #

ตัวอย่างที่ 2:

# f (x) = x + 3 + 1 / x ^ 2 #และ #g (x) = x ^ 2 + 7 + 1 / x ^ 2 #และ # A = 0 #

#lim_ (xrarr0) f (x) = oo # และ #lim_ (xrarr0) g (x) = oo #.

ทั้งๆที่มีข้อ จำกัด อยู่

คำถามของขีด จำกัด:

#lim_ (xrarr0) (f (x) + g (x)) # ถูกกำหนดโดยรูปแบบของผลรวม:

#lim_ (xrarra) f (x) + lim_ (xrarra) g (x) = oo + oo = oo #

สัญกรณ์ดูเหมือนว่าเรากำลังพูดอะไรบางอย่างที่เราไม่ได้พูด เราไม่ได้บอกว่าอินฟินิตี้เป็นตัวเลขที่เราสามารถเพิ่มเข้าไปในตัวมันเองเพื่อให้ได้อินฟินิตี้

สิ่งที่เรากำลังพูดคือ:

ขีด จำกัด เป็น # x # วิธีการ #0# ของผลรวมของทั้งสองฟังก์ชันนี้ไม่มีอยู่เนื่องจากเป็น #x rarr 0 #ทั้งคู่ # f (x) # และ #G (x) # เพิ่มขึ้นโดยไม่มีข้อ จำกัด ดังนั้นผลรวมของฟังก์ชั่นเหล่านี้จึงเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีข้อ จำกัด

ตัวอย่างที่ 3: สำหรับการตั้งค่าเดียวกันกับตัวอย่างที่ 2 ให้พิจารณาขีด จำกัด ของผลต่างแทนผลรวม:

ถ้า # f (x) # และ #G (x) # กำลังเพิ่มขึ้นอย่างไม่ จำกัด #x rarr 0 #เราสามารถสรุปได้ว่าผลรวมนั้นเพิ่มขึ้นโดยไม่มีข้อผูกมัด แต่เราไม่สามารถหาข้อสรุปเกี่ยวกับความแตกต่างได้

#lim_ (xrarr0) (f (x) -g (x)) # ไม่ได้ถูกกำหนดโดยรูปแบบของความแตกต่าง:

#lim_ (xrarra) f (x) - lim_ (xrarra) g (x) = oo - oo = "?" #

สำหรับ # F-G # ในที่สุดเราก็ได้ # - 4#, แต่สำหรับ #g - f # เราได้รับ #+4#

รูปแบบของการ จำกัด ที่ไม่แน่นอน ได้แก่:

#0/0#, # OO / OO #, # อูอู #, # 0 * oo #, #0^0#, #oo ^ 0 #, # 1 ^ oo #

(อันสุดท้ายทำให้ฉันประหลาดใจจนกระทั่งฉันได้ความทรงจำนั้นมาก่อน)

#lim_ (xrarroo) (1 + 1 / x) ^ x = lim_ (xrarr0) (1 + x) ^ (1 / x) = e #)

แบบฟอร์ม # L / 0 # กับ #L! = 0 # อาจเป็น "กึ่งเด็ดขาด" เรารู้ว่าขีด จำกัด ไม่สามารถเกิดขึ้นได้และมันล้มเหลวเนื่องจากการเพิ่มขึ้นหรือลดลงบางอย่างโดยไม่มีพฤติกรรมผูกไว้ แต่เราไม่สามารถพูดได้ว่า