ตอบ:
มันบรรจบกันอย่างแน่นอน
คำอธิบาย:
ใช้การทดสอบเพื่อการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์ ถ้าเราใช้ค่าสัมบูรณ์ของเงื่อนไขเราจะได้ซีรีส์
#4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …#
นี่คืออัตราส่วนทางเรขาคณิตของอัตราส่วนทั่วไป #1/4#. ดังนั้นมันจึงมาบรรจบกัน เนื่องจากทั้งคู่ # | a_n | # ลู่ # a_n # ลู่เข้าหากันอย่างแน่นอน
หวังว่านี่จะช่วยได้!
ตอบ:
# "มันเป็นซีรีย์เรขาคณิตที่เรียบง่ายและมันมาบรรจบกันอย่างแน่นอนด้วย" # # "sum" = 16/5 = 3.2. "#
คำอธิบาย:
# (1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + …) (1-a) = 1 "โดยมีเงื่อนไขว่า | a | <1" #
# => 1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + … = 1 / (1-a) #
# "Take" a = -1/4 "จากนั้นเรามี" #
#=> 1-1/4+1/16-1/64+… = 1/(1+1/4) = 1/(5/4) = 4/5#
# "ทีนี้ซีรี่ส์ของเรามีสี่เท่าเทอมแรกคือ 4" #
# "ดังนั้นซีรี่ส์ของเรา" #
#4-1+1/4-1/16+… = 4*4/5 = 16/5 = 3.2#
ตอบ:
ชุดรูปแบบทางเรขาคณิตมาบรรจบกันอย่างแน่นอนด้วย
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
คำอธิบาย:
ซีรีย์นี้เป็นซีรีย์ที่สลับกันได้อย่างแน่นอน แม้กระนั้นมันก็ดูเรขาคณิต
หากเราสามารถกำหนดอัตราส่วนทั่วไปที่ใช้ร่วมกันโดยข้อกำหนดทั้งหมดชุดจะอยู่ในรูปแบบ
#sum_ (n = 0) ^ OOA (R) ^ n #
ที่ไหน # A # เป็นเทอมแรกและ # R # เป็นอัตราส่วนทั่วไป
เราจะต้องหาผลรวมโดยใช้รูปแบบข้างต้น
หารแต่ละเทอมด้วยเทอมก่อนเพื่อกำหนดอัตราส่วนทั่วไป # R #:
#-1/4=-1/4#
#(1/4)/(-1)=-1/4#
#(-1/16)/(1/4)=-1/16*4=-1/4#
#(1/64)/(-1/16)=1/64*-16=-1/4#
ดังนั้นชุดนี้เป็นรูปทรงเรขาคณิตโดยมีอัตราส่วนทั่วไป # r = -1/4 #และเทอมแรก A = # 4 #
เราสามารถเขียนชุดเป็น
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n #
จำได้ว่าเป็นชุดเรขาคณิต #sum_ (n = 0) ^ OOA (R) ^ n # ลู่เข้าหา # A / (1-R) # ถ้า # | R | <1 #. ดังนั้นหากมันมาบรรจบกันเราก็สามารถหาค่าที่แน่นอนได้
ที่นี่ # | R | = | -1/4 | = 4/1 <1 #ดังนั้นซีรี่ส์จึงมาบรรจบกัน:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n = 4 / (1 - (- 1/4)) = 4 / (5/4) = 4 * 5/4 = 16/5 #
ทีนี้ลองมาดูกันว่ามันมาบรรจบกันหรือเปล่า
# a_n = 4 (-1/4) ^ n #
ตัดคำเชิงลบออก:
# a_n = 4 (-1) ^ n (1/4) ^ n #
ใช้ค่าสัมบูรณ์ทำให้เกิดคำลบเชิงลบเพื่อที่จะหายไป:
# | a_n | = 4 (1/4) ^ n #
ดังนั้น, #sum_ (n = 0) ^ OO | a_n | = sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n #
ที่เราเห็น # | R | = 4/1 <1 #ดังนั้นเราจึงยังมีคอนเวอร์เจนซ์:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n = 4 / (1-1 / 4) = 4 / (3/4) = 4 * 4/3 = 16/3 #
ชุดบรรจบกันอย่างแน่นอนด้วย
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
