จำนวนเต็มที่เล็กที่สุดคืออะไรนั่นคือ n! = m cdot 10 ^ (2016)?

ตอบ:

# n = 8075 #

คำอธิบาย:

ปล่อย #v_p (k) # เป็นทวีคูณของ # P # เป็นปัจจัยของ # k #. นั่นคือ, #v_p (k) # เป็นจำนวนเต็มมากที่สุดเช่นนั้น # P ^ (v_p (k)) | k #.

ข้อสังเกต:

• สำหรับคนใด #k ใน ZZ ^ + # และ # P # นายกเรามี #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้ง่ายโดยการเหนี่ยวนำ)

• สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ #k> 1 #, เรามี # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (มันใช้งานง่ายเช่นเดียวกับพลังทวีคูณของ #2# เกิดขึ้นบ่อยกว่าทวีคูณของพลังที่เทียบเท่าของ #5#และอาจได้รับการพิสูจน์อย่างเข้มงวดโดยใช้อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกัน)

• สำหรับ #j, k ใน ZZ ^ + #, เรามี #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # สำหรับตัวหารหลักใด ๆ # P # ของ # J #.

ดำเนินการต่อเป้าหมายของเราคือค้นหาจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด # n # ดังนั้น # 10 ^ 2016 |! n #. เช่น # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #จากนั้นโดยการสังเกตที่สามเราต้องการเพียงยืนยันว่า # 2016 <= v_2 (n!) # และ # 2016 <= v_5 (n!) #. การสังเกตครั้งที่สองหมายความว่าสิ่งหลังหมายถึงอดีต ดังนั้นมันก็เพียงพอแล้วที่จะหาจำนวนเต็มที่น้อยที่สุด # n # ดังนั้น # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

การค้นหา # n # เราจะทำการสังเกตซึ่งจะทำให้เราสามารถคำนวณได้ # v_5 (5 ^ k!) #.

ระหว่าง #1# และ # 5 ^ k #มี # 5 ^ k / 5 # ทวีคูณของ #5#ซึ่งแต่ละอย่างมีส่วนร่วมอย่างน้อย #1# เพื่อผลรวม #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #. นอกจากนี้ยังมี # 5 ^ k / 25 # ทวีคูณของ #25#ซึ่งแต่ละรายการมีส่วนเพิ่มเติม #1# เป็นผลรวมหลังจากการนับครั้งแรก เราสามารถดำเนินการต่อไปในลักษณะนี้จนกว่าจะถึงจำนวนครั้งเดียว # 5 ^ k # (ซึ่งเป็น # 5 ^ k # ตัวเอง) ซึ่งมีส่วน # k # คูณกับผลรวม การคำนวณผลรวมในลักษณะนี้เรามี

# v_5 (5 ^ k!) = sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) = sum_ (i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = sum_ (i = 1) ^ ^ K5 (ki) = sum_ (i = 0) ^ (k-1) 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

ดังนั้นเราพบว่า # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

ในที่สุดเราก็จะพบ # n # ดังนั้น # v_5 (n!) = 2016 #. ถ้าเราคำนวณ # v_5 (5 ^ k!) # สำหรับหลายค่าของ # k #เราพบว่า

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

เช่น #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # n # ต้องการสอง "บล็อก" ของ #5^5#สองแห่ง #5^4#สี่ของ #5^3#และสามของ #5^2#. ดังนั้นเราจึงได้รับ

#n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

คอมพิวเตอร์สามารถตรวจสอบได้อย่างรวดเร็วว่า #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #. ดังนั้น #10^2016 | 8075!#และเป็น #5|8075!# ด้วยหลายหลาก #2016# และ #5|8075#เป็นที่ชัดเจนว่าจะไม่มีค่าน้อยกว่าพอเพียง