ให้ N เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีทศนิยม 2018 หลัก, ทั้งหมดคือ 1: นั่นคือ N = 11111cdots111 หลักพันคืออะไรหลังจากจุดทศนิยมของ sqrt (N)?

ให้ N เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีทศนิยม 2018 หลัก, ทั้งหมดคือ 1: นั่นคือ N = 11111cdots111 หลักพันคืออะไรหลังจากจุดทศนิยมของ sqrt (N)?
Anonim

ตอบ:

#3#

คำอธิบาย:

โปรดทราบว่าจำนวนเต็มที่กำหนดคือ #1/9(10^2018-1)#ดังนั้นจึงมีสแควร์รูทเป็นบวกอยู่ใกล้มาก #1/3(10^1009)#

โปรดทราบว่า:

#(10^1009-10^-1009)^2 = 10^2018-2+10^-2018 < 10^2018-1#

#(10^1009-10^-1010)^2 = 10^2018-2/10+10^-2020 > 10^2018-1#

ดังนั้น:

# 10 ^ 1009-10 ^ -1009 <sqrt (10 ^ 2018-1) <10 ^ 1009-10 ^ -1010 #

และ:

# 1/3 (10 ^ 1009-10 ^ -1009) <sqrt (1/9 (10 ^ 2018-1)) <1/3 (10 ^ 1009-10 ^ -1010) #

ด้านซ้ายมือของความไม่เท่าเทียมนี้คือ:

#overbrace (333 … 3) ^ "1009 ครั้ง".overbrace (333 … 3) ^ "1009 ครั้ง" #

และด้านขวาคือ:

#overbrace (333 … 3) ^ "1009 ครั้ง".overbrace (333 … 3) ^ "1,010 ครั้ง" #

ดังนั้นเราจะเห็นได้ว่า #1000#ทศนิยมตำแหน่งที่สิบคือ #3#.