ช่วงเวลาของการลู่เข้าของ sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n คืออะไร?

$ช่วงเวลาของการลู่เข้าของ sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n คืออะไร?$

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

การใช้เอกลักษณ์พหุนาม

# (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) #

เรามีเพื่อ #abs x <1 #

#lim_ (n-> oo) (x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) #

จากนั้นสำหรับ #x ne k pi, k ใน ZZ # เรามี

#sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x) #

แสดงว่าcos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos²6π / 10 + cos²9π / 10 = 2 ฉันสับสนเล็กน้อยถ้าฉันทำCos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10) มันจะเปลี่ยนค่าลบเป็น cos (180 ° -theta) = - costheta ใน ด้านที่สอง ฉันจะไปพิสูจน์คำถามได้อย่างไร

โปรดดูที่ด้านล่าง. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

ช่วงเวลาของการลู่เข้าของ sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n คืออะไร? และผลรวมใน x = 3 คืออะไร?

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["เป็นช่วงเวลาของการลู่เข้าสำหรับ x" "x = 3 ไม่ได้อยู่ในช่วงเวลาของการลู่เข้าดังนั้นจำนวนรวมของ x = 3 คือ" oo " มันเป็นชุดรูปทรงเรขาคณิตโดยการแทนที่ "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "จากนั้นเรามี" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "สำหรับ" | z | <1 "ดังนั้นช่วงเวลาของการลู่เข้าคือ" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "หรือ" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 ลบ)" "กรณีที่เป็นบวก:" => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) => 0 &

ช่วงเวลาของการลู่เข้าของ sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n คืออะไร?

X ใน (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) เราสามารถพูดได้ว่า sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n เป็นชุดเรขาคณิตที่มีอัตราส่วน r = 1 / (x (1-x)) ตอนนี้เรารู้ว่าชุดเรขาคณิตมาบรรจบกันเมื่อค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนน้อยกว่า 1: | r | <1 iff-1 <r <1 ดังนั้นเราต้องแก้ความไม่เท่าเทียมกันนี้: 1 / (x (1-x)) <1 และ 1 / (x (1-x))> -1 เริ่มต้นด้วยอันแรก: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x )) / (x (1-x)) <0 iff (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 เราสามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายว่าตัวเศษเป็นบวกเสมอและตัวส่วนเป็นลบ ช่วงเวลา x ใน (-oo, 0) U (1, oo) นี่คือคำตอบสำหรับความไม่เท่าเทียมครั้งแรกของเรา ลองดูอันท