ช่วงเวลาของการลู่เข้าของ sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n คืออะไร?

ตอบ:

#x ใน (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

คำอธิบาย:

เราสามารถทำเช่นนั้นได้ #sum_ {n = 0} ^ OO (1 / (x (1-x))) ^ n # เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วน # r = 1 / (x (1-x)) #.

ตอนนี้เรารู้ว่าชุดเรขาคณิตมาบรรจบกันเมื่อค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนน้อยกว่า 1:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

ดังนั้นเราต้องแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมนี้:

# 1 / (x (1-x)) <1 และ 1 / (x (1-x))> -1 #

เริ่มกันด้วยอันแรก:

# 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x)) / (x (1-x)) <0 iff #

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

เราสามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายว่าตัวเศษนั้นเป็นค่าบวกเสมอและตัวส่วนนั้นเป็นลบในช่วงเวลา #x ใน (-oo, 0) U (1, oo) #.

นี่คือคำตอบสำหรับความไม่เท่าเทียมครั้งแรกของเรา

ลองดูอันที่สอง:

# 1 / (x (1-x)) + (x (1-x)) / (x (1-x))> 0 iff (1 + xx ^ 2) / (x (1-x))> 0 #

ความไม่เท่าเทียมกันนี้ได้แก้ปัญหาช่วงเวลา:

#x ใน (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

ดังนั้นซีรี่ส์ของเรามาบรรจบกันที่นี่กับช่วงเวลาเป็นทั้งจริง

ดังนั้นช่วงเวลาของการบรรจบกันของเราคือ:

#x ใน (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #