กลุ่ม Abelian คืออะไรจากมุมมองพีชคณิตเชิงเส้น / เชิงนามธรรม?

ตอบ:

กลุ่ม Abelian เป็นกลุ่มที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมของการดำเนินการของกลุ่มที่กำลังสับเปลี่ยน

คำอธิบาย:

กลุ่ม # <G, •> # เป็นชุด # G # ร่วมกับการดำเนินการแบบไบนารี # •: GxxG-> G # ซึ่งปฏิบัติตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1. # G # คือ ปิด ภายใต้ #•#.

   สำหรับคนใด # ที่ Bing #, เรามี # a • b ใน G #

2. #•# คือ ที่สมาคม.

   สำหรับคนใด # A, B, cing #, เรามี # (a • b) • (c) = a • (b • c) #

3. # G # มี องค์ประกอบตัวตน

   มีอยู่ # # eing เช่นนั้นสำหรับทุกคน # Aing #, # •การ E = อี• A = A #

4. แต่ละองค์ประกอบของ # G # มี ผกผัน ใน # G #

   เพื่อทุกสิ่ง # Aing # มีอยู่ รุ่น A ประเภทสิทธิ ^ (- 1) ไอเอ็นจี # ดังนั้น # a • a ^ (- 1) = a ^ (- 1) • A = E #

กลุ่มที่ถูกกล่าวขานว่าเป็น ศาสนาคริสต์ ถ้ามันยังมีคุณสมบัติที่ #•# คือการสับเปลี่ยนนั่นคือสำหรับทุกคน # ที่ Bing #, เรามี # a • b = b • a #.

กลุ่ม # <ZZ, +> # (จำนวนเต็มที่มีการเพิ่มมาตรฐาน) เป็นกลุ่ม Abelian เนื่องจากเป็นไปตามเงื่อนไขทั้งห้าด้านบน

กลุ่ม # GL_2 (RR) # (ชุดของการสลับกลับ # 2 "X" 2 # เมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบจริงพร้อมกับการคูณเมทริกซ์) นั้นไม่ใช่ Abelian ในขณะที่มันเติมเต็มเงื่อนไขสี่ประการแรกการคูณเมทริกซ์ระหว่างเมทริกซ์ที่กลับไม่ได้ไม่จำเป็นต้องสลับกัน ตัวอย่างเช่น:

#((1,1),(1,0))((1,0),(1,1)) = ((2,1),(1,0))#

แต่

#((1,0),(1,1))((1,1),(1,0)) = ((1,1),(2,1))#