ป.ร. ให้ไว้
# S_n n = ^ 2 + 20N + 12 #
# "where" n = + ve "จำนวนเต็ม" #
นิพจน์ที่กำหนดสามารถจัดเรียงได้หลายวิธีที่เกี่ยวข้องกับกำลังสองของจำนวนเต็มมีเพียง 12 การจัดเรียงเท่านั้นที่แสดงให้เห็น
# S_n = (n + 1) ^ 2 + 18N + 11 ……… 1 #
# S_n = (n + 2) ^ 2 + 16N + 8 ………. 2 #
# S_n = (n + 3) ^ 2 + 14N + 3 ………. 3 #
# S_n = (n + 4) ^ 2 + 12n-4 ………. 4 #
# S_n = (n + 5) ^ 2 + 10N-13 ……… 5 #
# S_n = (n + 6) ^ 2 + สี (สีแดง) (8 (n-3) ……… 6) #
# S_n = (n + 7) ^ 2 + 6n-37 ………. 7 #
# S_n = (n + 8) ^ 2 + สี (สีแดง) (4 (n-13) ……… 8) #
# S_n = (n + 9) ^ 2 + 2n-69 ………. 9 #
# S_n = (n + 10) ^ 2-88 ………….. 10 #
# S_n = (n + 11) ^ 2-2n-109 ……… 11 #
# S_n = (n + 12) ^ 2-4 (n + 33) ……… 12 #
จากการตรวจสอบความสัมพันธ์ทั้ง 10 ข้อดังกล่าว # S_n # จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบในสองกรณีคือ 6 และ 8 เมื่อ n = 3 และ n = 13 ตามลำดับ
ดังนั้นผลรวมของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ n ซึ่ง # S_n # เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบคือ = (3 + 13) = 16
# S_n # อาจเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์แบบนอกเหนือจากสองอย่างนี้ ค่า negatve ของ n กรณีที่ 12 # n = -33 # เป็นตัวอย่างหนึ่งดังกล่าว
