Extrema ท้องถิ่นคืออะไรถ้ามีจาก f (x) = x ^ 2 + 9x +1

ตอบ:

Parabolae มีหนึ่ง extrema จุดสุดยอด

มันคือ #(-4 1/2, -19 1/4)#.

ตั้งแต่ # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # ทุกฟังก์ชั่นเว้าทุกที่และจุดนี้จะต้องเป็นขั้นต่ำ

คำอธิบาย:

คุณมีสองรูตในการค้นหาจุดสุดยอดของพาราโบลา: หนึ่งใช้แคลคูลัสเพื่อค้นหาว่าอนุพันธ์คือศูนย์; สองหลีกเลี่ยงแคลคูลัสที่ค่าใช้จ่ายทั้งหมดและเพียงแค่เติมสี่เหลี่ยม เราจะใช้แคลคูลัสสำหรับการฝึกซ้อม

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #เราต้องหาอนุพันธ์ของสิ่งนี้

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

โดยความเป็นเส้นตรงของอนุพันธ์เรามี

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

ใช้กฎไฟฟ้า # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # เรามี

# {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

เราตั้งค่านี้เท่ากับศูนย์เพื่อค้นหาจุดวิกฤติทั้งในระดับท้องถิ่นและระดับโลกและระดับสูงสุดและบางครั้งจุดที่มีการเปลี่ยนแปลงมีอนุพันธ์ของศูนย์

# 0 = 2x + 9 # #=># # x = -9/2 #,

ดังนั้นเราจึงมีจุดวิกฤติหนึ่งจุด # x = -9/2 # หรือ #-4 1/2#.

เพื่อหาพิกัด y ของจุดวิกฤติที่เราย่อย # x = -9/2 # กลับเข้าสู่ฟังก์ชั่น

#f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

จุดวิกฤติ / จุดสุดยอดคือ #(-4 1/2, -19 1/4)#.

เรารู้ว่าเพราะ รุ่น A ประเภทสิทธิ> 0 #นี่คือสูงสุด

หากต้องการค้นหาอย่างเป็นทางการว่าเป็นค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดเราต้องทำการทดสอบอนุพันธ์ครั้งที่สอง

# {d ^ 2 f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

อนุพันธ์อันดับสองคือ 2 ที่ค่าทั้งหมดของ x ซึ่งหมายความว่ามันจะยิ่งใหญ่กว่าศูนย์ทุกหนทุกแห่งและฟังก์ชั่นนี้จะเว้าทุกที่ (เป็นรูปโค้งด้วย รุ่น A ประเภทสิทธิ> 0 # หลังจากทั้งหมด) ดังนั้น extrema จะต้องเป็นขั้นต่ำจุดสุดยอด