ตอบ:
# "ไม่มีการแยกตัวประกอบที่ง่ายที่นี่มีเพียงวิธีการทั่วไป" #
# "สำหรับการแก้สมการลูกบาศก์สามารถช่วยเราได้ที่นี่" #
คำอธิบาย:
# "เราสามารถใช้วิธีการแทน Vieta ได้" #
# "หารด้วยค่าสัมประสิทธิ์ครั้งแรก:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "การทดแทน" x = y + p "ใน" x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c "อัตราผลตอบแทน:" #
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp + c = 0 #
# "ถ้าเราใช้" 3p + a = 0 "หรือ" p = -a / 3 "สัมประสิทธิ์แรก" # # "กลายเป็นศูนย์และเราจะได้:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(กับ" p = -2/3 ")" #
# "การแทนที่" y = qz "ใน" y ^ 3 + b y + c = 0 ", ให้ผลลัพธ์:" #
# z ^ 3 + b z / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "ถ้าเรารับ" q = sqrt (| b | / 3) "สัมประสิทธิ์ของ z จะกลายเป็น" #
# "3 หรือ -3 และเราได้:" #
# "(ที่นี่" q = 1.61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "การแทนที่" z = t + 1 / t ",:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1.87850338 = 0 #
# "การแทนที่" u = t ^ 3 "ให้ผลสมการกำลังสอง:" #
# => u ^ 2 + 1.87850338 u + 1 = 0 #
# "รากของสมการกำลังสองนั้นซับซ้อน" #
# "หมายความว่าเรามี 3 รูทจริงในสมการลูกบาศก์" #
# "รากของสมการกำลังสองนี้คือ" #
# u = -0.93925169 + 0.34322917 ฉัน #
# "การแทนที่ตัวแปรกลับให้ผลตอบแทน:" #
#t = root3 (u) = 1.0 * (cos (-0.93041329) + i sin (-0.93041329)) #
# = 0.59750263 - 0.80186695 i. #
# => z = 1.19500526 + i 0.0. #
# => y = 1.93100097 + i 0.0. #
# => x = 1.26433430 #
# "สามารถหารูทอื่นได้โดยการหารและแก้" # # "สมการกำลังสองที่เหลือ" #
# "รากอื่นเป็นของจริง: -3.87643981 และ 0.61210551" #
ตอบ:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
ที่อยู่:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
คำอธิบาย:
ได้รับ:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
โปรดทราบว่านี่จะทำให้ง่ายขึ้นหากมีการพิมพ์ผิดในคำถาม
ตัวอย่างเช่น:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2 สี (แดง) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + สี (แดง) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
หากลูกบาศก์ถูกต้องในรูปแบบที่กำหนดเราจะสามารถหาค่าศูนย์และปัจจัยได้ดังนี้
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
การแปลง Tschirnhaus
เพื่อให้งานของการแก้ลูกบาศก์ง่ายขึ้นเราจึงสร้างลูกบาศก์ง่ายขึ้นโดยใช้การแทนที่เชิงเส้นที่เรียกว่าการแปลง Tschirnhaus
# 0 = 108f (x) = 216x ^ 3 ^ + 432x 2-1404x + 648 #
# = (6x +4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #
# t = ^ 3-282t + 1712 #
ที่ไหน # t = (6x + 4) #
การทดแทนตรีโกณมิติ
ตั้งแต่ # f (x) # มี #3# ค่าศูนย์จริงวิธีการของ Cardano และค่าที่คล้ายกันจะส่งผลให้เกิดนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับรูตคิวบ์ที่ลดลงของจำนวนเชิงซ้อน ความชอบของฉันในสถานการณ์เช่นนี้คือการใช้การทดแทนตรีโกณมิติแทน
ใส่:
#t = k cos theta #
ที่ไหน #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
แล้ว:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (white) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 282k cos theta + 1712 #
#color (white) (0) = 94k (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) + 1712 #
#color (white) (0) = 94k cos 3 theta + 1712 #
ดังนั้น:
#cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94) #
ดังนั้น:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2npi #
ดังนั้น:
#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
ดังนั้น:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
อันไหน givens #3# เลขศูนย์ที่ชัดเจนของลูกบาศก์ใน # เสื้อ #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # สำหรับ #n = 0, 1, 2 #
แล้ว:
#x = 1/6 (t-4) #
ดังนั้นสามศูนย์ของลูกบาศก์ที่ให้คือ:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
ด้วยค่าโดยประมาณ:
# x_0 ~~ 1.2643 #
# x_1 ~~ -3.8764 #
# x_2 ~~ 0.61211 #
