พิสูจน์ sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

ตอบ:

ในคำอธิบาย

คำอธิบาย:

บนระนาบพิกัดปกติเรามีพิกัดเช่น (1,2) และ (3,4) และอะไรทำนองนั้น เราสามารถแสดงพิกัดของรัศมีและมุมเหล่านี้ได้อีกครั้ง ดังนั้นถ้าเรามีจุด (a, b) นั่นหมายความว่าเราไปหน่วยทางขวา b หน่วยขึ้นและ #sqrt (ก ^ 2 + B ^ 2) # เป็นระยะห่างระหว่างจุดกำเนิดและจุด (a, b) ฉันจะโทร #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

ดังนั้นเราจึงมี # อีกครั้ง ^ arctan (/ b) #

ทีนี้เพื่อทำข้อพิสูจน์ให้จบเรามาเรียกสูตรคืนหนึ่ง

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

ฟังก์ชั่นของอาร์คแทนอนให้มุมซึ่งเป็นทีต้า

ดังนั้นเราจึงมีสมการต่อไปนี้:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)) #

ทีนี้ลองวาดสามเหลี่ยมมุมฉากกัน

arctan ของ (b / a) บอกฉันว่า b คือด้านตรงข้ามและ a คือด้านประชิด ถ้าฉันต้องการ cos ของอาร์คตัน (b / a) เราใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อค้นหาด้านตรงข้ามมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ #sqrt (ก ^ 2 + B ^ 2) #. ดังนั้น cos (arctan (b / a)) = อยู่ติดกับด้านตรงข้ามมุมฉาก = # A / sqrt (ก ^ 2 + B ^ 2) #.

ส่วนที่ดีที่สุดเกี่ยวกับเรื่องนี้คือความจริงที่ว่าหลักการเดียวกันนี้ใช้กับไซน์ ดังนั้น sin (arctan (b / a)) = ตรงข้ามด้านตรงข้ามมุมฉาก = # b / sqrt (ก ^ 2 + B ^ 2) #.

ดังนั้นตอนนี้เราสามารถแสดงคำตอบของเราใหม่ได้ดังนี้: #R * ((A / sqrt (ก ^ 2 + B ^ 2)) + (BI / sqrt (ก ^ 2 + B ^ 2))) #.

แต่จำไว้ #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # ดังนั้นตอนนี้เรามี: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. การยกเลิกของ r และคุณจะถูกทิ้งไว้กับสิ่งต่อไปนี้: # A + สอง #

ดังนั้น, # อีกครั้ง (^ ((arctan (/ b)))) = a + สอง #