คำถาม # 90cf3 + ตัวอย่าง

ตอบ:

เพื่อค้นหารากของสมการเช่น # e ^ x = x ^ 3 #ฉันขอแนะนำให้คุณใช้วิธีการวิเคราะห์เชิงตัวเลขแบบเรียกซ้ำซึ่งเรียกว่าวิธีการของนิวตัน

คำอธิบาย:

ลองทำตัวอย่าง

ในการใช้วิธีของนิวตันคุณเขียนสมการในรูปแบบ #f (x) = 0 #:

# e ^ x - x ^ 3 = 0 #

คำนวณ # f (x) #:

# e ^ x - 3x ^ 2 #

เนื่องจากวิธีการนั้นต้องการให้เราทำการคำนวณแบบเดียวกันหลาย ๆ ครั้งจนกว่ามันจะมาบรรจบกันฉันแนะนำให้คุณใช้กระดาษคำนวณ Excel คำตอบที่เหลือของฉันจะมีคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการทำเช่นนี้

ป้อนการเดาที่ดีสำหรับ x ในเซลล์ A1 สำหรับสมการนี้ฉันจะใส่ 2

ป้อนสิ่งต่อไปนี้ในเซลล์ A2:

= A1- (EXP (A1) - A1 ^ 3) / (EXP (A1) - 3 * A1 ^ 2)

โปรดสังเกตว่าข้างต้นเป็นภาษาสเปรดชีต Excel สำหรับ

# x_2 = x_1 - (e ^ (x_1) -x_1 ^ 3) / (e ^ (x_1) -3x_1 ^ 2) #

คัดลอกเนื้อหาของเซลล์ A2 ลงใน A3 ถึง A10 หลังจากเรียกซ้ำเพียง 3 หรือ 4 คุณจะเห็นว่าวิธีการดังกล่าวได้แปรสภาพ

#x = 1.857184 #

ตอบ:

เราสามารถใช้ทฤษฎีค่ากลางเพื่อดูว่าแต่ละคู่มีจุดตัดอย่างน้อยหนึ่งจุด

คำอธิบาย:

#f (x) = e ^ x-x ^ 2 # ต่อเนื่องในสายจริงทั้งหมด

ที่ # x = 0 #, เรามี # f (0) = 1 #.

ที่ # x = -1 #, เรามี #f (-1) = 1 / e-1 # ซึ่งเป็นลบ

# F # อย่างต่อเนื่องใน #-1,0#ดังนั้นมีอย่างน้อยหนึ่งรายการ c # # ใน #(-1,0)# กับ # f (c) = 0 #.

#G (x) = E ^ x-x ^ 3 # ต่อเนื่องในสายจริงทั้งหมด

ที่ # x = 0 #, เรามี #G (0) = 1 #.

ที่ # x = 2 #, เรามี #g (2) = e ^ 2-8 # ซึ่งเป็นลบ

(โปรดสังเกตว่า # e ^ 2 ~~ 2.7 ^ 2 <7.3 <8 #.)

# G # อย่างต่อเนื่องใน #0,2#ดังนั้นมีอย่างน้อยหนึ่งรายการ c # # ใน #(0,2)# กับ #G (c) = 0 #.