คำถาม # 53a2b + ตัวอย่าง

ตอบ:

คำจำกัดความของระยะทางนี้ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนแปลงของกรอบเฉื่อยดังนั้นจึงมีความหมายทางกายภาพ

คำอธิบาย:

พื้นที่ Minkowski ถูกสร้างขึ้นเพื่อเป็นพื้นที่ 4 มิติพร้อมพิกัดพารามิเตอร์ # (x_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #ที่เรามักจะพูด # x_0 = CT #. ที่แกนกลางของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเรามีการแปลงแบบลอเรนซ์ซึ่งเป็นการแปลงจากกรอบเฉื่อยหนึ่งไปอีกกรอบหนึ่งซึ่งทำให้ความเร็วของแสงคงที่ ฉันจะไม่พูดถึงการแปลงแบบลอเรนซ์เต็มรูปแบบหากคุณต้องการให้ฉันอธิบายสิ่งนั้นเพียงแค่ถามและฉันจะพูดถึงรายละเอียดเพิ่มเติม

สิ่งที่สำคัญคือมีดังนี้ เมื่อเราดูที่ Euclidian space (พื้นที่ที่เรามีนิยามความยาวสามัญที่เราคุ้นเคย # ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #) เรามีการเปลี่ยนแปลงบางอย่าง; การหมุนเชิงพื้นที่การแปลและการมิเรอร์ หากเราคำนวณระยะห่างระหว่างสองจุดในกรอบอ้างอิงต่าง ๆ ที่เชื่อมต่อกันด้วยการแปลงเหล่านี้เราจะพบว่าระยะทางนั้นเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าระยะทางยูคลิดเป็นค่าคงที่ภายใต้การเปลี่ยนแปลงเหล่านี้

ตอนนี้เราขยายแนวคิดนี้ไปสู่กาลอวกาศ 4 มิติ ก่อนที่ทฤษฎีไอน์สไตน์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเราเชื่อมต่อเฟรมเฉื่อยโดยการแปลงกาลิลีซึ่งเพิ่งแทนที่พิกัดอวกาศ # x_i # โดย # x_i-v_it # สำหรับ #iin {1,2,3} # ที่ไหน # v_i # คือความเร็วของผู้สังเกตการณ์ใน #ผม# ทิศทางที่สัมพันธ์กับเฟรมดั้งเดิม การเปลี่ยนแปลงนี้ไม่ได้ทำให้ความเร็วของแสงคงที่ แต่มันก็ปล่อยให้ระยะทางเหนี่ยวนำโดยองค์ประกอบเส้น # ds ^ 2 = dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #เพียงเพราะไม่มีการเปลี่ยนแปลงกับพิกัดเวลาดังนั้นเวลาจึงสมบูรณ์

อย่างไรก็ตามการแปลงกาลิลีไม่ได้อธิบายการเปลี่ยนแปลงของกรอบเฉื่อยหนึ่งไปอีกเฟรมอย่างแม่นยำเนื่องจากเรารู้ว่าความเร็วของแสงนั้นไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงพิกัดที่เหมาะสม ดังนั้นเราจึงแนะนำการแปลงแบบลอเรนซ์ ระยะทางแบบยุคลิดที่ขยายไปถึง 4-dim spacetime ดังที่ได้กล่าวมาข้างต้นนั้นไม่คงที่ภายใต้การแปลงแบบลอเรนซ์อย่างไรก็ตามระยะทางที่เกิดจาก # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # คือซึ่งเราเรียกระยะทางที่เหมาะสม ดังนั้นแม้ว่าระยะทางยูคลิดนี้ซึ่งทฤษฎีบทพีทาโกรัสถือเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์แบบในพื้นที่สลัว 4 มันไม่มีความหมายทางกายภาพใด ๆ เนื่องจากมันขึ้นอยู่กับผู้สังเกตการณ์

ระยะทางที่เหมาะสมไม่ได้ขึ้นอยู่กับผู้สังเกตการณ์ดังนั้นเราสามารถให้ความหมายทางกายภาพได้โดยการเชื่อมต่อวัตถุโบราณของโลกผ่านพื้นที่ Minkowski โดยใช้ระยะทางนี้กับเวลาที่ผ่านไปโดยวัตถุที่เคลื่อนที่ไปตามโลกนี้ โปรดทราบว่าถ้าเราปล่อยให้เวลาคงที่ทฤษฎีบทพีทาโกรัสยังคงอยู่ในพิกัดเชิงพื้นที่

แก้ไข / คำอธิบายเพิ่มเติม:

ผู้ถามดั้งเดิมของคำถามนี้ขอให้ฉันอธิบายเพิ่มเติมอีกเล็กน้อยเขาเขียนว่า: "ขอบคุณ แต่คุณช่วยอธิบายสองกระพือสองเล่มล่าสุดได้อีกหน่อยในหนังสือที่ฉันเห็นพวกเขามี # s ^ 2 = x ^ 2 (CT) ^ 2 #. โปรดอธิบาย "โดยสรุปสิ่งที่เรามีที่นี่เป็นรุ่นสองมิติของสิ่งที่ฉันอธิบายไว้ข้างต้นเรามีคำอธิบายของกาลอวกาศที่มีหนึ่งครั้งและหนึ่งมิติของอวกาศในการนี้เรากำหนดระยะห่างหรือบรรทัดฐานที่แม่นยำมากขึ้น จุดกำเนิดถึงจุด) # s # ใช้สูตร # s ^ 2 = x ^ 2 (CT) ^ 2 # ที่ไหน # x # คือการประสานงานเชิงพื้นที่และ # เสื้อ # พิกัดทางโลก

สิ่งที่ฉันทำข้างต้นเป็นรุ่นสามมิติ แต่ที่สำคัญกว่านั้นคือฉันใช้ # (DS) ^ 2 # แทน # s ^ 2 # (ฉันได้เพิ่มวงเล็บไว้เพื่อให้ความกระจ่างเกี่ยวกับสิ่งที่กำลังสอง) โดยไม่ต้องลงรายละเอียดของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์มากเกินไปถ้าเรามีเส้นเชื่อมสองจุดในอวกาศ # # ds คือความยาวของเส้นเล็ก ๆ ของชิ้นส่วนที่เรียกว่าองค์ประกอบเส้น ผ่านรุ่น 2D ของสิ่งที่ฉันเขียนไว้ด้านบนเรามี # ds ^ 2 = -dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #ซึ่งเกี่ยวข้องกับความยาวของชิ้นส่วนเล็ก ๆ นี้กับการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในพิกัด เพื่อคำนวณระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุดหนึ่ง # x_0 = A, x_1 = b # ในกาลอวกาศเราคำนวณความยาวของเส้นตรงที่ไปจากจุดกำเนิดถึงจุดนั้นเส้นนี้จะได้รับ # x_0 = a / bx_1 # ที่ไหน # x_1in 0, b #เราทราบว่า # dx_0 = a / bdx_1 #ดังนั้น # ds ^ 2 = (1-A ^ 2 / b ^ 2) dx_1 ^ 2 #ดังนั้น # ds = sqrt (1-A ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #ซึ่งเราสามารถบูรณาการให้ # s = ^ int_0 bsqrt (1-A ^ 2 / b ^ 2) = dx_1 bsqrt (1-A ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (ข ^ 2-a ^ 2) #.

ดังนั้น # s ^ 2 = b ^ 2-A ^ 2 = x_1 ^ 2-x_0 ^ 2 = x ^ 2 (CT) ^ 2 # ใน # (t, x) # พิกัด.

ดังนั้นสิ่งที่ฉันเขียนข้างต้นให้สิ่งที่คุณอ่านในหนังสือ อย่างไรก็ตามเวอร์ชันองค์ประกอบของบรรทัดช่วยให้คุณสามารถคำนวณความยาวของบรรทัดใด ๆ ไม่ใช่แค่เป็นเส้นตรง เรื่องราวเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของ Lorentz ยังคงเป็นไปตามปกติ # s # ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนแปลงของกรอบอ้างอิงในขณะที่ # x ^ 2 + (CT) ^ 2 # ไม่ใช่.

ความจริงที่ว่าทฤษฎีบทพีทาโกรัสไม่ถือเป็นเรื่องที่น่าแปลกใจ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสถือในเรขาคณิตแบบยุคลิด ซึ่งหมายความว่าพื้นที่ที่คุณทำงานนั้นเรียบ ตัวอย่างของช่องว่างที่ไม่แบนคือพื้นผิวของทรงกลม เมื่อคุณต้องการหาระยะห่างระหว่างสองจุดบนพื้นผิวนี้คุณจะใช้ความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดเหนือพื้นผิวนี้ที่เชื่อมต่อสองจุดนี้ หากคุณต้องสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากบนพื้นผิวนี้ซึ่งจะดูแตกต่างจากสามเหลี่ยมในปริภูมิแบบยุคลิดเนื่องจากเส้นจะไม่ตรงทฤษฎีบทพีทาโกรัสก็ไม่ได้ถือโดยทั่วไป

คุณสมบัติที่สำคัญอีกอย่างหนึ่งของเรขาคณิตแบบยุคลิดคือเมื่อคุณวางระบบพิกัดไว้ในพื้นที่นี้พิกัดทุกพิกัดจะมีบทบาทเดียวกัน คุณสามารถหมุนแกนและจบลงด้วยรูปทรงเรขาคณิตเดียวกัน ในเรขาคณิต Minkowski ด้านบนพิกัดไม่ทั้งหมดมีบทบาทเดียวกันเนื่องจากแกนเวลามีเครื่องหมายลบในสมการและอื่น ๆ ไม่มี หากเครื่องหมายลบนี้ไม่ได้อยู่ที่นั่นเวลาและพื้นที่จะมีบทบาทคล้ายกันในกาลอวกาศหรืออย่างน้อยก็ในเรขาคณิต แต่เรารู้ว่าพื้นที่และเวลาไม่เหมือนกัน