คะแนน extrema และ saddle ของ f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) คืออะไร?

คะแนน extrema และ saddle ของ f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) คืออะไร?
Anonim

เรามี:

# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #

ขั้นตอนที่ 2 - ระบุจุดวิกฤติ

จุดวิกฤติเกิดขึ้นที่ทางออกพร้อมกันของ

# f_x = f_y = 0 iff (บางส่วน f) / (บางส่วน x) = (บางส่วน f) / (บางส่วน y) = 0 #

เช่นเมื่อ:

# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … B):}} # พร้อมกัน

จากที่เราสามารถสร้าง:

# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x) #

# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #

ดังนั้นเราจึงต้องการ:

# y / (2x) = x / (2y) #

#:. x ^ 2 = y ^ 2 #

จากนั้นเรามีวิธีแก้ปัญหาสองแบบ (infinite plane):

#:. x = + - y #

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่ามีจุดวิกฤตมากมายตามความยาวทั้งหมดของจุดตัดของเส้นโค้งและระนาบสองระนาบ #x = + - y #

ขั้นตอนที่ 3 - จำแนกจุดวิกฤติ

เพื่อจัดประเภทจุดวิกฤตเราทำการทดสอบคล้ายกับของแคลคูลัสหนึ่งตัวแปรโดยใช้อนุพันธ์ย่อยที่สองและ Hessian Matrix

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((บางส่วน ^ 2 f) / (บางส่วน x ^ 2), (บางส่วน ^ 2 f) / (บางส่วน x บางส่วน y)), ((บางส่วน ^ 2 f) / (บางส่วน y บางส่วน x), (บางส่วน ^ 2 f) / (บางส่วน y ^ 2)) | #

# = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

จากนั้นขึ้นอยู่กับมูลค่าของ # # เดลต้า:

# {: (เดลต้า> 0, "มีค่าสูงสุดถ้า" f_ (xx) <0), (, "และค่าต่ำสุดถ้า" f_ (xx)> 0), (เดลต้า <0, "มีจุดอาน"), (Delta = 0, "จำเป็นต้องทำการวิเคราะห์เพิ่มเติม"):} #

# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)}} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #

# = e ^ (- 2 (x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #

เราจำเป็นต้องพิจารณาสัญญาณของ # # เดลต้าและเราทราบว่า # e ^ z gt 0 AA z ใน RR #ดังนั้นจะต้องพิจารณาสัญญาณของ:

# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #

ดังนั้นขึ้นอยู่กับสัญญาณ # เดลต้า '# เรามีจำนวนสูงสุดและจำนวนจุดอานตามระนาบ # x + = - Y #

นี่คือพล็อตของฟังก์ชั่น

และนี่คือพล็อตของฟังก์ชั่นรวมถึงระนาบ # x + = - Y #