อะไรคือค่าเฉลี่ยของฟังก์ชั่น f (x) = sec x tan x ในช่วงเวลา [0, pi / 4]

ตอบ:

มันคือ # (4 (sqrt2-1)) / pi #

คำอธิบาย:

ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน # F # ในช่วงเวลา # a, b # คือ

# 1 / (b-a) int_a ^ b f (x) dx #

ดังนั้นคุณค่าที่เราแสวงหาคือ

# 1 / (pi / 4-0) int_0 ^ (pi / 4) secxtanx dx #

# = 4 / pi secx _0 ^ (pi / 4) #

# = 4 / pi วินาที (pi / 4) -sec (0) #

# = 4 / pi sqrt2-1 #

# = (4 (sqrt2-1)) / pi #

คุณจะแก้ปัญหา cos x tan x = 1/2 ในช่วงเวลา [0,2pi] ได้อย่างไร

X = pi / 6 หรือ x = 5pi / 6 เราทราบว่า tanx = sinx / cosx ดังนั้น cosxtanx = 1/2 เทียบเท่ากับ sinx = 1/2 สิ่งนี้ให้เรา x = pi / 6 หรือ x = 5pi / 6 เราสามารถเห็นสิ่งนี้ได้โดยใช้ความจริงที่ว่าถ้าด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นสองเท่าของด้านตรงข้ามของมุมใดมุมหนึ่งที่ไม่ใช่มุมฉากเรารู้ว่าสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าดังนั้นมุมภายในจึงเป็นครึ่ง ของ 60 ^ @ = pi / 3 "rad" ดังนั้น 30 ^ @ = pi / 6 "rad" เรายังทราบด้วยว่ามุมนอก (pi-pi / 6 = 5pi / 6) มีค่าเดียวกันสำหรับไซน์ของมันกับมุมด้านใน เนื่องจากนี่เป็นรูปสามเหลี่ยมเพียงจุดเดียวที่เกิดเหตุการณ์นี้เราจึงรู้วิธีแก้ปัญหาเหล่านี้เป็นวิธีแก้ปัญหาที

อะไรคือค่าเฉลี่ยของฟังก์ชั่น f (t) = te ^ (- t ^ 2) ในช่วง [0,5]?

มันคือ 1/10 (1-e ^ -25) 1 / (5-0) int_0 ^ 5 te ^ (- t ^ 2) dt = -1/10 int_0 ^ 5 e ^ (- t ^ 2) (- 2t) dt = -1/10 [e ^ (- t ^ 2)] _ 0 ^ 5 = -1/10 (e ^ -25 - e ^ 0) = 1/10 (1-e ^ -25)

อะไรคือค่าเฉลี่ยของฟังก์ชั่น f (x) = (x-1) ^ 2 ในช่วงจาก x = 1 ถึง x = 5?

ค่าเฉลี่ยคือ 16/3 ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน f ในช่วงเวลา [a, b] คือ 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx ดังนั้นค่าที่เราค้นหาคือ 1 / (5-1) int_1 ^ 5 (x-1) ^ 2 dx = 1/4 [(x-1) ^ 3/3] _1 ^ 5 = 1/12 [(4) ^ 3- (0) ^ 3] = 16/3