พิสูจน์ได้ว่า P (A) (Power Set) ใหญ่กว่า A?

ตอบ:

โปรดดูที่ด้านล่าง.

คำอธิบาย:

วิธีการปกติ คือการแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่น # f: ArarrP (A) # ไม่สามารถเข้าสู่ (เกินจริง) (ดังนั้นจะไม่สามารถ bijective)

สำหรับฟังก์ชั่นใด ๆ # f: ArarrP (A) # มีส่วนย่อยของ # A # ที่กำหนดโดย

#R = x ใน A #

ตอนนี้เราแสดงให้เห็นแล้วว่า # R # ไม่ได้อยู่ในภาพของ # A #.

ถ้า #r ใน A # กับ #f (r) = R #จากนั้น #color (แดง) (r ใน R "และ" r! in R # ซึ่งเป็นไปไม่ได้ดังนั้นจึงไม่มี #r ใน A # กับ #f (r) = R #.

ดังนั้น # F # ไม่ได้เข้าสู่ (เกินจริง)

เพื่อที่จะได้เห็น #color (แดง) (r ใน R "และ" r! in R # สังเกตว่า

#r ใน R rArr r ใน f (r) rArr r! ใน R # ดังนั้น #r ใน R rArr (r ใน R "และ r! in R) #

และ

#r! ใน R rArr r! in f (r) rArr r ใน R # ดังนั้น #r! in R rArr (r! in R "และ r in R) #

เราสรุปได้ว่าไม่มี #r ใน A # กับ #f (r) = R #.

ใช้อาร์กิวเมนต์ที่คล้ายกัน เราสามารถแสดงแทน ฟังก์ชั่น # f: P (A) rarrA # ไม่สามารถเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง (แบบฉีด) (ดังนั้นจะไม่สามารถ bijective)