ถ้า f (x) = xe ^ (5x + 4) และ g (x) = cos2x อะไรคือ f '(g (x))

ตอบ:

# = e ^ (5cos 2x + 4) (1 + 5cos 2x) #

คำอธิบาย:

ในขณะที่ความตั้งใจของคำถามนี้อาจเป็นการกระตุ้นให้ใช้กฎลูกโซ่ทั้งคู่ # f (x) # และ #G (x) # - เหตุใดจึงต้องยื่นภายใต้กฎลูกโซ่ - นั่นไม่ใช่สิ่งที่เอกสารขอ

เพื่อให้จุดที่เราดูคำจำกัดความ

#f '(u) = (f (u + h) - f (u)) / (h) #

หรือ

#f '(u (x)) = (f (u (x) + h) - f (u (x))) / (h) #

ไพรม์หมายถึงแยกแยะความแตกต่าง wrt กับสิ่งที่อยู่ในวงเล็บ

นี่หมายความว่าในโน้ต Liebnitz: # (d (f (x))) / (d (g (x)) #

ตรงกันข้ามกับคำอธิบายกฎลูกโซ่ทั้งหมดนี้:

# (f circ g) '(x) = f' (g (x)) cdot g '(x) #

ดังนั้นในกรณีนี้ #u = u (x) = cos 2x # และสัญกรณ์นั้นต้องการเพียงแค่อนุพันธ์ของ #f (u) # WRT ถึง #ยู#แล้วด้วย #x ถึง cos 2x #เช่น #cos 2x # แทรกเป็น x ในอนุพันธ์ผลลัพธ์

ดังนั้นที่นี่

# f '(cos 2x) qquad "ให้" u = cos 2x ##

# = f '(u) #

โดยกฎผลิตภัณฑ์

# = (u) 'e ^ (5u + 4) + u (e ^ (5u + 4))' #

# = e ^ (5u + 4) + u * 5 e ^ (5u + 4) #

# = e ^ (5u + 4) (1 + 5u) #

ดังนั้น

#f '(g (x)) = #f '(cos 2x) #

# = e ^ (5cos 2x + 4) (1 + 5cos 2x) #

ในระยะสั้น

#f '(g (x)) ne (f circ g)' (x) #

ตอบ:

# f '(g (x)) = E ^ (5cos (2x) 4) (1 + 5cos2x) #

คำอธิบาย:

# f (x) = XE ^ (5x + 4) #

การค้นหา # f '(g (x)) #ก่อนอื่นเราต้องหา # f (x) # จากนั้นเราต้องทดแทน # x # โดย #G (x) #

# f '(x) = E ^ (5x + 4) + 5xe ^ (5x + 4) #

# f '(x) = E ^ (5x + 4) (1 + 5x) #

ให้เราแทน # x # โดย # f (x) #

# f '(g (x)) = E ^ (5cos (2x) 4) (1 + 5cos2x) #