ตอบ:
คำอธิบาย:
นิพจน์ที่กำหนดสามารถเขียนเป็นผลรวมของเศษส่วนบางส่วน:
ตอนนี้ให้รวม:
คุณจะรวม f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) โดยใช้เศษส่วนบางส่วนได้อย่างไร
35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C ตั้งแต่ตัวส่วน ได้รับการแยกตัวประกอบแล้วทั้งหมดที่เราต้องทำในส่วนของเศษส่วนคือแก้หาค่าคงที่: (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Axe + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) โปรดทราบว่าเราต้องการทั้ง x และคำคงที่ที่เศษส่วนซ้ายส่วนใหญ่เพราะตัวเศษอยู่ต่ำกว่า 1 องศาเสมอ ตัวส่วน เราสามารถคูณด้วยตัวหารทางซ้าย แต่นั่นเป็นงานจำนวนมากดังนั้นเราจึงสามารถฉลาดและใช้วิธีการปกปิด ฉันจะไม่ไปดูรายละเอียดในกระบวนการ แต่สิ่งที่เราทำคือค้นหาสิ่งที่ทำให้ตัวส่วนเท่ากับศูนย์ (ในกรณีของ C คือ x = 3) และเสียบเข้าที่ด้านซ้ายมือและประเมิน
คุณจะรวม int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) โดยใช้เศษส่วนบางส่วนได้อย่างไร
2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C เราต้องการค้นหา A, B, C เช่นนั้น 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) สำหรับทุก x คูณทั้งสองข้างด้วย x ^ 2 (2x-1) เพื่อรับ 1 = Axe (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Axe + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB สัมประสิทธิ์เท่ากันให้เรา {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} และดังนั้นเราจึงมี A = -2, B = -1, C = 4 แทนสิ่งนี้ในสมการเริ่มต้นเราได้ 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 ตอนนี้ให้รวมคำด้วยเทอม int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx เพื่อรับ 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C
คุณจะรวม (x-2) / (x ^ 2 + 4x + 3) โดยใช้เศษส่วนบางส่วนได้อย่างไร
ดูคำตอบด้านล่าง: