คุณจะรวม int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) โดยใช้เศษส่วนบางส่วนได้อย่างไร

ตอบ:

# 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C #

คำอธิบาย:

เราต้องไปหา # A, B, C # ดังนั้น

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) #

เพื่อทุกสิ่ง # x #.

คูณทั้งสองข้างด้วย # x ^ 2 (2x-1) # เพื่อรับ

# 1 = ขวาน (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 #

# 1 = ^ 2AX 2AX + 2BX-B + Cx ^ 2 #

# 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) x-B #

ค่าสัมประสิทธิ์การเทียบเคียงให้เรา

# {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} #

และดังนั้นเราจึงมี # A = -2, B = -1, C = 4 #. เราจะได้ค่านี้มาแทนในสมการเริ่มต้น

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 #

ตอนนี้รวมคำโดยใช้คำ

#int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx #

เพื่อรับ

# 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C #

ตอบ:

คำตอบคือ # = 1 / x-2ln (| x |) + 2ln (| 2x-1 |) + C #

คำอธิบาย:

ทำการสลายตัวเป็นเศษส่วนบางส่วน

# 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x ^ 2 + B / X + C / (2x-1) #

# = (A (2x-1) + Bx (2x-1) + C (x ^ 2)) / (x ^ 2 (2x-1)) #

ตัวส่วนเหมือนกันให้เปรียบเทียบตัวเศษ

# 1 = A (2x-1) + Bx (2x-1) + C (x ^ 2) #

ปล่อย # x = 0 #, #=>#, # 1 = -A #, #=>#, # A = -1 #

ปล่อย # x = 2/1 #, #=>#, # 1 = C / 4 #, #=>#, # C = 4 #

ค่าสัมประสิทธิ์ของ # x ^ 2 #

# 0 = 2B + C #

# B = -C / 2 = -4/2 = -2 #

ดังนั้น, # 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = - 1 / x ^ 2-2 / x + 4 / (2x-1) #

ดังนั้น, #int (1DX) / (x ^ 2 (2x-1)) = - int (1DX) / x ^ 2-int (2DX) / x + int (4DX) / (2x-1) #

# = 1 / x-2ln (| x |) + 2ln (| 2x-1 |) + C #