คุณจะรวม int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) โดยใช้เศษส่วนบางส่วนได้อย่างไร

ตอบ:

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = #

# 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

คำอธิบาย:

ตั้งสมการเพื่อหาตัวแปร A, B, C

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x +1) ^ 2) DX #

ให้เราแก้ A, B, C ก่อน

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = A / (x-1) + B / (x + 1) + C / (x + 1) ^ 2 #

จอแอลซีดี # = (x-1) (x + 1) ^ 2 #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x + 1) ^ 2 + B (x ^ 2-1) + C (x-1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

ลดความซับซ้อน

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (A (x ^ 2 + 2x + 1) + B (x ^ 2-1) + C (x -1)) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) #

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (ขวาน ^ 2 + 2Ax + A + Bx ^ 2-B + Cx-C) / ((x- 1) (x + 1) ^ 2) #

จัดเรียงข้อกำหนดของทางด้านขวา

# (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) = (ขวาน ^ 2 + Bx ^ 2 + 2Ax + Cx + ABC) / ((x-1) (x +1) ^ 2) #

ให้เราตั้งค่าสมการเพื่อแก้ A, B, C โดยการจับคู่ค่าสัมประสิทธิ์เชิงตัวเลขของคำศัพท์ซ้ายและขวา

# A + B = 4 "" #สมการแรก

# 2A + C = 6 "" #สมการที่สอง

# A-B-C = -2 "" #สมการที่สาม

โซลูชันพร้อมกันโดยใช้ผลลัพธ์สมการที่สองและสามเพื่อ

# 2A + A + C-C-B = 6-2 #

# 3A-B = 4 "" #สมการที่สี่

ใช้สมการแรกและสมการที่สี่

# 3A-B = 4 "" #สมการที่สี่

# 3 (4-B) -B = 4 "" #สมการที่สี่

# 12-3B-B = 4 #

# -4B = 4-12 #

# -4B = -8 #

# B = 2 #

แก้ปัญหาสำหรับ A โดยใช้ # 3A-B = 4 "" #สมการที่สี่

# 3A-2 = 4 "" #สมการที่สี่

# 3A = 4 + 2 #

# 3A = 6 #

A = # 2 #

แก้ไข C โดยใช้ # 2A + C = 6 "" #สมการที่สองและ A = # 2 # และ # B = 2 #

# 2A + C = 6 "" #สมการที่สอง

# 2 (2) + C = 6 #

# 4 + C = 6 #

# C = 6-4 #

# C = 2 #

ตอนนี้เราทำการรวมของเรา

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 / (x +1) ^ 2) DX #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = int (2 / (x-1) + 2 / (x + 1) + 2 * (x +1) ^ (- 2)) DX #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) + (2 * (x + 1) ^ (- 2 + 1)) / (- 2 + 1) + C_o #

#int (4x ^ 2 + 6x-2) / ((x-1) (x + 1) ^ 2) dx = 2ln (x-1) + 2ln (x + 1) -2 / (x + 1) + C_o #

ขอพระเจ้าอวยพร ….. ฉันหวังว่าคำอธิบายจะมีประโยชน์

คุณจะรวม int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) โดยใช้เศษส่วนบางส่วนได้อย่างไร

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C เราต้องการค้นหา A, B, C เช่นนั้น 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = A / x + B / x ^ 2 + C / (2x-1) สำหรับทุก x คูณทั้งสองข้างด้วย x ^ 2 (2x-1) เพื่อรับ 1 = Axe (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Axe + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = (2A + C) x ^ 2 + (2B-A) xB สัมประสิทธิ์เท่ากันให้เรา {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} และดังนั้นเราจึงมี A = -2, B = -1, C = 4 แทนสิ่งนี้ในสมการเริ่มต้นเราได้ 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 ตอนนี้ให้รวมคำด้วยเทอม int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx เพื่อรับ 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C

คุณจะรวม int (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) โดยใช้เศษส่วนบางส่วนได้อย่างไร

คุณต้องแยกย่อย (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) เป็นเศษส่วนบางส่วน คุณกำลังมองหา a, b, c ใน RR เช่นนั้น (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x -6) + c / (x + 4) ฉันจะแสดงให้คุณเห็นวิธีการค้นหาเพียงอย่างเดียวเพราะจะพบ b และ c ในวิธีเดียวกัน คุณคูณทั้งสองข้างด้วย x + 3 นี่จะทำให้มันหายไปจากตัวส่วนทางด้านซ้ายและทำให้มันปรากฏถัดจาก b และ c (x-9) / ((x + 3) (x-6) (x + 4)) = a / (x + 3) + b / (x-6) + c / (x + 4) iff (x -9) / ((x-6) (x + 4)) = a + (b (x + 3)) / (x-6) + (c (x + 3)) / (x + 4) คุณประเมินสิ่งนี้ที่ x-3 เพื่อทำให้ b และ c หายไปและหา a x = -3 iff 12/9 = 4/3 = a คุณทำแบบเดียวกันกับ b และ c ยกเว้นว่าคุณคูณ

คุณจะรวม int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) โดยใช้เศษส่วนบางส่วนได้อย่างไร

= int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) d x int (x + 1) / (x ^ 2 + 6x) d x