คุณจะรวม f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) โดยใช้เศษส่วนบางส่วนได้อย่างไร

ตอบ:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #

คำอธิบาย:

เนื่องจากตัวหารเป็นตัวประกอบแล้วทั้งหมดที่เราต้องทำเศษส่วนบางส่วนคือแก้สำหรับค่าคงที่:

# (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (ขวาน + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) #

โปรดทราบว่าเราต้องการทั้ง # x # และเทอมคงที่บนเศษส่วนซ้ายสุดเนื่องจากตัวเศษมีค่าต่ำกว่า 1 ส่วนเสมอ

เราสามารถคูณด้วยตัวหารทางซ้าย แต่นั่นเป็นงานจำนวนมากดังนั้นเราจึงสามารถฉลาดและใช้วิธีการปกปิด

ฉันจะไม่ไปดูรายละเอียดของกระบวนการ แต่สิ่งที่เราทำคือค้นหาสิ่งที่ทำให้ตัวส่วนเท่ากับศูนย์ (ในกรณีของ # C # มันคือ # x = 3 #) และเสียบเข้าที่ด้านซ้ายมือและประเมินผลในขณะที่ครอบคลุมปัจจัยที่สอดคล้องกับค่าคงที่สิ่งนี้จะช่วยให้:

# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (ข้อความ (////)) (3-7)) = - 11/6 #

เราสามารถทำเช่นเดียวกันสำหรับ # D #:

# D = (3 (7) 2-7 ^) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (ข้อความ (////))) = 35/51 #

วิธีการปกปิดจะใช้ได้กับปัจจัยเชิงเส้นเท่านั้นดังนั้นเราจึงถูกบังคับให้แก้ปัญหาสำหรับ # A # และ # B # ใช้วิธีการดั้งเดิมและการคูณผ่านโดยตัวหารด้านซ้าย:

# 3x ^ 2 x = (ขวาน + B) (x-3) (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) (x-3) #

หากเราคูณในวงเล็บทั้งหมดและถือเอาสัมประสิทธิ์ของทุกอย่าง # x # และเงื่อนไขคงที่เราสามารถหาค่าของ # A # และ # B #. เป็นการคำนวณที่ค่อนข้างยาวดังนั้นฉันจะทิ้งลิงค์ไว้สำหรับใครก็ตามที่สนใจ:

คลิกที่นี่

# A = -79 / 561 #

# B = -94 / 561 #

นี่ทำให้อินทิกรัลของเราคือ:

#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)) dx #

สองคนแรกสามารถแก้ไขได้โดยใช้ตัวแทนที่แบบง่าย ๆ ของตัวส่วน:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

เราสามารถแยกอินทิกรัลที่เหลือเป็นสอง:

#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

ฉันจะเรียกซ้ายหนึ่ง Integral 1 และหนึ่ง Integral 2 ที่ถูกต้อง

ส่วนประกอบสำคัญ 1

เราสามารถแก้อินทิกรัลนี้ได้ด้วยการแทนที่ของ # U = x ^ 2 + 2 #. อนุพันธ์คือ # 2x #ดังนั้นเราหารด้วย # 2x # เพื่อบูรณาการด้วยความเคารพ #ยู#:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int cancel (x) / (2cancel (x) u) du = 79 / 2int 1 / u du = 79 / 2ln | u | + C = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #

ส่วนประกอบสำคัญ 2

เราต้องการให้อินทิกรัลนี้เป็นแบบฟอร์มสำหรับ # สีน้ำตาล ^ -1 #:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

หากเราแนะนำการเปลี่ยนตัวด้วย # x = sqrt2u #เราจะสามารถแปลงอินทิกรัลของเราเป็นแบบฟอร์มนี้ได้ เพื่อบูรณาการด้วยความเคารพ #ยู#เราต้องคูณด้วย # sqrt2 # (เนื่องจากเราหาอนุพันธ์เทียบกับ #ยู# แทน # x #):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du = #

# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 47sqrt2tan ^ -1 (U) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #

เติมอินทิกรัลดั้งเดิมให้สมบูรณ์

เมื่อเรารู้ว่าอินทิกรัล 1 และอินทิกรัล 2 เท่ากับอะไรแล้วเราสามารถทำให้อินทิกรัลต้นฉบับเสร็จสิ้นเพื่อรับคำตอบสุดท้าย

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C #