ความแตกต่างระหว่างทฤษฎีบทมูลค่าขั้นกลางและทฤษฎีค่าสุดขีดคืออะไร?

ตอบ:

ทฤษฎีบทค่ากลาง (IVT) กล่าวถึงฟังก์ชั่นที่ต่อเนื่องในช่วงเวลา # a, b # รับค่าทั้งหมด (ระดับกลาง) ระหว่างค่าสุดขั้ว ทฤษฎีค่าสุดขีด (EVT) กล่าวถึงฟังก์ชั่นที่ต่อเนื่อง # a, b # บรรลุค่าสูงสุด (สูงและต่ำ)

คำอธิบาย:

นี่คือคำแถลงของ EVT: อนุญาต # F # จะต่อเนื่องใน # a, b #. จากนั้นก็มีตัวเลขอยู่ # c, d in a, b # ดังนั้น #f (c) leq f (x) leq f (d) # เพื่อทุกสิ่ง #x in a, b #. อีกวิธีหนึ่งคือ "supremum" # M # และ "ไม่ จำกัด " # ม # ของช่วง # {f (x): x in a, b } # มีอยู่ (พวกมัน จำกัด) และมีตัวเลขอยู่ # c, d in a, b # ดังนั้น # f (c) = m # และ # f (ง) = M #.

โปรดทราบว่าฟังก์ชั่น # F # จะต้องต่อเนื่องใน # a, b # สำหรับข้อสรุปที่จะถือ ตัวอย่างเช่นถ้า # F # เป็นฟังก์ชั่นแบบนั้น # f (0) = 0.5 #, # f (x) = x # สำหรับ #0<>และ # f (1) = 0.5 #จากนั้น # F # ไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด #0,1#. (จำนวนสูงสุดและน้อยที่สุดของช่วงอยู่ (พวกเขาคือ 1 และ 0 ตามลำดับ) แต่ฟังก์ชั่นไม่เคยบรรลุ (ไม่เท่ากับ) ค่าเหล่านี้)

โปรดทราบว่าจะต้องปิดช่วงเวลา ฟังก์ชั่น # f (x) = x # ไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดในช่วงเวลาเปิด #(0,1)#. (สูงสุดอีกครั้งและช่วงต่ำสุดของช่วงอยู่ (พวกเขา 1 และ 0 ตามลำดับ) แต่ฟังก์ชั่นไม่เคยบรรลุ (ไม่เท่ากับ) ค่าเหล่านี้)

ฟังก์ชั่น # f (x) = 1 / x # ยังไม่ได้รับค่าสูงสุดหรือต่ำสุดในช่วงเวลาที่เปิด #(0,1)#. ยิ่งไปกว่านั้นค่าสูงสุดของช่วงนั้นไม่มีแม้แต่เป็นจำนวน จำกัด (คือ "อนันต์")

นี่คือคำแถลงของ IVT: อนุญาต # F # จะต่อเนื่องใน # a, b # และสมมติว่า # f (ก)! = f (ข) #. ถ้า # v # เป็นตัวเลขใด ๆ ระหว่าง # f (ก) # และ #FB)#มีตัวเลขอยู่แล้ว #c in (a, b) # ดังนั้น # f (c) v = #. ยิ่งกว่านั้นถ้า # v # คือตัวเลขระหว่างค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของช่วง # {f (x): x in a, b} #มีตัวเลขอยู่แล้ว #c in a, b # ดังนั้น # f (c) v = #.

หากคุณวาดภาพของฟังก์ชั่นไม่ต่อเนื่องต่างๆมันค่อนข้างชัดเจนว่าทำไม # F # จะต้องมีอย่างต่อเนื่องเพื่อให้ IVT เป็นจริง