ตอบ:
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) # สำหรับ #b ใน RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) # สำหรับ #b = | b | e ^ (itheta) ใน CC #
คำอธิบาย:
โดยทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตเราสามารถคำนึงถึงการแสดงออกที่ให้เป็น
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alpha_k) #
ที่ไหนกัน # alpha_k # เป็นรากของ # x ^ 8 + B ^ 8 #.
การแก้เพื่อ # alpha_k #, เราได้รับ
# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #
# => x ^ 8 = -b ^ 8 #
# => x = (-b ^ 8) ^ (1/8) #
# = | ข | (-1) ^ (1/8) # (สมมติว่า #b ใน RR #)
# = | ข | (จ ^ (i (PI + 2pik))) ^ (1/8) #
# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8), k ใน ZZ #
เช่น #k ใน {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} # บัญชีของค่าที่ไม่ซ้ำกันทั้งหมดของแบบฟอร์มนั้นเราได้รับการแยกตัวประกอบของเราเป็นสำหรับ #b ใน RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) #
สำหรับคนทั่วไปมากขึ้น #b ใน CC #จากนั้นสมมุติว่า #b = | b | e ^ (itheta) #เราสามารถผ่านการคำนวณที่คล้ายกันเพื่อค้นหา
# (- b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) #
ความหมาย
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) #
ขออภัยฉันมองข้ามรายละเอียดเล็กน้อยคำตอบที่ได้รับจาก sente นั้นถูกต้อง
เผื่อว่า #b ne 0 # และ # a, b ใน RR # เรามี
# (a / b) ^ 8 = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # แล้วก็
# A / B = E ^ (i (2k + 1) ปี่ / 8) # แล้วก็
# a-b e ^ (i (2k + 1) pi / 8) = 0 # คือ # k = 0,1, cdots 7 # รากหรือปัจจัย
กำหนด
#p (k) = a-be ^ (i (2k + 1) pi / 8) #
แล้ว
# f_1 = p (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_2 = p (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_3 = p (3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
ดังนั้น
# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # ด้วยสัมประสิทธิ์ที่แท้จริง
