ฉันจะประเมิน cos (pi / 5) โดยไม่ใช้เครื่องคิดเลขได้อย่างไร

ตอบ:

คอส (# # ปี่ / 5) = cos 36 ° = (# sqrt #5 + 1)/4.

คำอธิบาย:

ถ้า # theta # = # # ปี่/ 10 จากนั้น 5# theta # = # # ปี่/2 #=># cos3# theta # = sin2# theta #. cos (# # ปี่ /2 - อัลฟา # #) = บาปอัลฟา # #}.

#=># 4# cos ^ 3 # # theta # - 3cos# theta # = 2sin# theta #cos# theta ##=># 4 # cos ^ 2 ## theta # - 3 = 2 บาป # theta #.

#=># 4 (1 - # บาป ^ 2 # # theta #) - 3 = 2 บาป# theta #. #=># 4# บาป ^ 2 # # theta #+ 2sin# theta # - 1 = 0#=>#

บาป# theta # =(# sqrt # 5 - 1) /4.

ตอนนี้เพราะ 2# theta # = cos # # ปี่/5 = 1 - 2# บาป ^ 2 # # theta #ให้ผลลัพธ์

ตอบ:

#Cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

คำอธิบาย:

ปล่อย #a = cos (pi / 5) #, #b = cos (2 * pi / 5) #. ดังนั้น #cos (4 * pi / 5) = -a #. จากสูตรสองมุม:

#b = 2a ^ 2-1 #

# -a = 2b ^ 2-1 #

ลบ, # a + b = 2 (a ^ 2-b ^ 2) = 2 (a + b) (a-b) #

# A + B # ไม่ใช่ศูนย์เนื่องจากทั้งสองคำเป็นบวกดังนั้น # A-B # จะต้องเป็น #1/2#. แล้วก็

# a-1/2 = 2a ^ 2-1 #

# 4a ^ 2-2a-1 = 0 #

และรากที่เป็นบวกเท่านั้นคือ

#a = cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

และ #b = cos (2 * pi / 5) = a-1/2 = (sqrt (5) -1) / 4 #.