อินทิกรัลของ sqrt (9-x ^ 2) คืออะไร?

เมื่อใดก็ตามที่ฉันเห็นฟังก์ชั่นเหล่านี้ฉันจำได้ว่าคุณควรใช้การทดแทนพิเศษที่นี่:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

นี่อาจดูเหมือนการทดแทนที่แปลก แต่คุณจะเห็นว่าทำไมเราถึงทำเช่นนี้

#dx = 3cos (u) du #

แทนที่ทุกสิ่งในอินทิกรัล:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

เราสามารถดึง 3 ออกมาจากอินทิกรัล:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

คุณสามารถแยก 9 ออก:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

เรารู้ว่าตัวตน: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

ถ้าเราแก้หา # cosx #, เราได้รับ:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

นี่คือสิ่งที่เราเห็นในอินทิกรัลดังนั้นเราจึงสามารถแทนที่มันได้:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

คุณอาจรู้จักอันนี้ว่าเป็นยาต้านไวรัสขั้นพื้นฐาน แต่ถ้าคุณทำไม่ได้คุณสามารถเข้าใจได้ดังนี้:

เราใช้ข้อมูลประจำตัว: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (คุณสามารถทำสิ่งนี้ได้ด้วยการทดแทน)

# 9/2 u +9/4 sin (2u) + C #

ตอนนี้สิ่งที่เราต้องทำคือใส่ #ยู# เข้าสู่ฟังก์ชั่น ลองย้อนกลับไปดูวิธีที่เรากำหนดไว้:

#x = 3sin (u) #

# x / 3 = sin (u) #

ที่จะได้รับ #ยู# จากนี้คุณจะต้องใช้ฟังก์ชันอินเวอร์สของ #บาป# ทั้งสองด้านนี่คือ # arcsin #:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

ตอนนี้เราจำเป็นต้องใส่ลงในโซลูชันของเรา:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 sin (2arcsin (x / 3)) + C #

นี่คือทางออกสุดท้าย