อินทิกรัลของ int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx คืออะไร?

ตอบ:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3 / 4sqrt (2x-1) + C #

คำอธิบาย:

ปัญหาใหญ่ของเราในอินทิกรัลนี้คือรากดังนั้นเราต้องการกำจัดมัน เราสามารถทำได้โดยการแนะนำการทดแทน # U = sqrt (2x-1) #. อนุพันธ์คือ

# (du) / DX = 1 / sqrt (2x-1) #

ดังนั้นเราจึงหารผ่าน (และจำไว้ว่าการหารด้วยส่วนกลับจะเหมือนกับการคูณด้วยตัวส่วน) ที่จะรวมเข้าด้วยกันด้วยความเคารพ #ยู#:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / ยกเลิก (sqrt (2x-1)) ยกเลิก (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du #

ตอนนี้สิ่งที่เราต้องทำก็คือ # x ^ 2 # ในแง่ของ #ยู# (เนื่องจากคุณไม่สามารถรวมได้ # x # ด้วยความเคารพ #ยู#):

# U = sqrt (2x-1) #

# U ^ 2 = 2x-1 #

# U ^ 2 + 1 = 2x #

# (U ^ 2 + 1) / 2 = x #

# x ^ 2 = ((U ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (U ^ 2 + 1) ^ 2/4 = u (^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #

เราสามารถเสียบกลับเข้าไปในอินทิกรัลของเราเพื่อรับ:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1 du #

สิ่งนี้สามารถประเมินได้โดยใช้กฎกำลังย้อนกลับ:

# 1/4 * U ^ 5/5 + 4/2 * U ^ 3/3 + u / 4 U + C #

การลงทะเบียนใหม่สำหรับ # U = sqrt (2x-1) #, เราได้รับ:

# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #

อินทิกรัลของ int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx คืออะไร?

1/2 [-ln (เอบีเอส (sqrt (1 + E ^ (2x)) + 1)) + LN (เอบีเอส (sqrt (1 + E ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + E ^ (2x)) + C ก่อนอื่นเราแทนที่: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du ดำเนินการ การทดแทนที่สอง: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Split โดยใช้เศษส่วนบางส่วน: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 ตอนนี้เรามี: -1 /

(sqrt (5+) sqrt (3)) / (sqrt (3+) sqrt (3+) sqrt (5)) - (sqrt (5-) sqrt (3)) / (sqrt (3+) sqrt (3-) sqrt (5))

2/7 เราใช้เวลา A = (sqrt5 + sqrt3) / (sqrt3 + sqrt3 + sqrt5) - (sqrt5-sqrt3) / (sqrt3 + sqrt3-sqrt5) = (sqrt5 + sqrt3) / (2sqrt3 + sqrt5) - (sq5 -sqrt3) / (2sqrt3-sqrt5) = (sqrt5 + sqrt3) / (2sqrt3 + sqrt5) - (sqrt5-sqrt3) / (2sqrt3-sqrt5) = ((sqrt5 + sqrt3) (2sqrt3-sqrt5) ) (2sqrt3 + sqrt5)) / ((2sqrt3 + sqrt5) (2sqrt3-sqrt5) = ((2sqrt15-5 + 2 * 3-sqrt15) - (2sqrt15 + 5-2 * 3-sqrt15) (/ 2sqrt3 + sqrt5) ^ 2- (sqrt5) ^ 2) = (ยกเลิก (2sqrt15) -5 + 2 * 3cancel (-sqrt15) - ยกเลิก (2sqrt15) -5 + 2 * 3 + ยกเลิก (sqrt15)) / (12-5) = ( -10 + 12) / 7 = 2/7 โปรดทราบว่าหากในตัวหารคือ (sqrt3 + sqrt (3 + sqrt5)) และ (sqrt3 + sqrt (3-sq

อินทิกรัลของ int (sec ^ 2x) / sqrt (4-sec ^ 2x) dx คืออะไร?

คำตอบของคำถามนี้ = sin ^ (- 1) (tanx / sqrt3) สำหรับการทำ tanx = t จากนั้นวินาที ^ 2x dx = dt ยังวินาที ^ ^ = 1 + tan ^ 2x ใส่ค่าเหล่านี้ในสมการเดิมเราได้รับ intdt / (sqrt (3-t ^ 2)) = sin ^ (- 1) (t / sqrt3) = sin ^ (- 1) (tanx / sqrt3) หวังว่ามันจะช่วยได้ !!