อินทิกรัลของ int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx คืออะไร?

ตอบ:

# 2/1 -ln (เอบีเอส (sqrt (1 + E ^ (2x)) + 1)) + LN (เอบีเอส (sqrt (1 + E ^ (2x)) - 1)) + sqrt (1 + E ^ (2x)) + C #

คำอธิบาย:

ก่อนอื่นเรามาแทนที่:

# U = E ^ (2x) +1 จ ^ (2x) = U-1 #

# (du) / (DX) = 2e ^ (2x); DX = (du) / (2e ^ (2x)) #

#intsqrt (U) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (U) / (2 (U-1)) du = 1 / 2intsqrt (U) / (U-1) du #

ทำการทดแทนครั้งที่สอง:

# v ^ 2 u =; v = sqrt (U) #

# 2V (DV) / (du) = 1; du = 2vdv #

# 1 / 2intv / (V ^ 2-1) 2vdv = INTV ^ 2 / (V ^ 2-1) DV = int1 + 1 / (V ^ 2-1) DV #

แยกโดยใช้เศษส่วนบางส่วน:

# 1 / ((V + 1) (V-1)) = A / (V + 1) + B / (V-1) #

# 1 = A (V-1) + B (V + 1) #

# v = 1 #:

# 1 = 2B #, # B = 2/1 #

# v = -1 #:

# 1 = -2A #, # A = -1/2 #

ตอนนี้เรามี:

# -1 / (2 (V + 1)) + 1 / (2 (V-1)) #

# int1 + 1 / ((V + 1) (V-1)) DV = int1-1 / (2 (V + 1)) + 1 / (2 (V-1)) DV = 1/2 -ln (เอบีเอส (V + 1)) + LN (เอบีเอส (V-1)) + V + C #

กลับมาทดแทนใน # v = sqrt (U) #:

# 2/1 -ln (เอบีเอส (sqrt (U) +1)) + LN (เอบีเอส (sqrt (U) -1)) + sqrt (U) + C #

กลับมาทดแทนใน # U = 1 + E ^ (2x) #

# 2/1 -ln (เอบีเอส (sqrt (1 + E ^ (2x)) + 1)) + LN (เอบีเอส (sqrt (1 + E ^ (2x)) - 1)) + sqrt (1 + E ^ (2x)) + C #