วิธีแก้ปัญหาสำหรับ inte ^ xcosxdx?

ตอบ:

#int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

คำอธิบาย:

# I = int e ^ x cos (x) "d" x #

เราจะใช้การรวมเป็นส่วน ๆ ซึ่งระบุไว้ว่า #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

ใช้การรวมเป็นส่วน ๆ ด้วย # U = E ^ x #, # du = e ^ x "d" x #, # "d" v = cos (x) "d" x #และ # v = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x #

ใช้การรวมเป็นส่วน ๆ อีกครั้งเพื่ออินทิกรัลที่สองด้วย # U = E ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x) "d" x #และ # v = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) "d" x #

ตอนนี้จำได้ว่าเรากำหนดไว้ # I = int e ^ x cos (x) "d" x #. ดังนั้นสมการข้างต้นจะกลายเป็นดังต่อไปนี้ (จำได้ว่าจะเพิ่มค่าคงที่ของการรวม):

# I = E ^ xsin (x) + E ^ Xcos (x) -I + C #

# 2I = ^ อี xsin (x) + E ^ Xcos (x) + C = E ^ x (บาป (x) + cos (x)) + C #

# I = 1 / 2E ^ x (บาป (x) + cos (x)) + C #

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

ใช้ข้อมูลประจำตัวของ de Moivre

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # เรามี

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i บาป x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

แต่ #int e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -cosx) #

และในที่สุดก็

#inte ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #