Extrema สัมบูรณ์ของ f (x) = 2xsin ^ 2x + xcos2x ใน [0, pi / 4] คืออะไร

ตอบ:

ค่าสูงสุดแน่นอน: # (pi / 4, pi / 4) #

ค่าสัมบูรณ์ขั้นต่ำ: #(0, 0)#

คำอธิบาย:

ได้รับ: #f (x) = 2x sin ^ 2x + x cos2x ใน 0, pi / 4 #

ค้นหาอนุพันธ์อันดับแรกโดยใช้กฎผลิตภัณฑ์สองครั้ง

กฎสินค้า: # (uv) '= uv' + v u '#

ปล่อย #u = 2x; "" u '= 2 #

ปล่อย #v = sin ^ 2x = (sin x) ^ 2; "" v '= 2 บาป x cos x #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + … #

สำหรับครึ่งหลังของสมการ:

ปล่อย #u = x; "" u '= 1 #

ปล่อย #v = cos (2x); "" v '= (- sin (2x)) 2 = -2sin (2x) #

#f '(x) = 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + x (-2sin (2x)) + cos (2x) (1) #

ลดความซับซ้อน:

#f '(x) = ยกเลิก (2x sin (2x)) + 2sin ^ 2x ยกเลิก (-2x sin (2x)) + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos (2x) #

#f '(x) = 2 sin ^ 2x + cos ^ 2x - sin ^ 2x #

#f '(x) = sin ^ 2x + cos ^ 2x #

อัตลักษณ์ของพีทาโกรัส # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #

ซึ่งหมายความว่าไม่มีค่าวิกฤติเมื่อ #f '(x) = 0 #

ค่าสัมบูรณ์สูงสุดและต่ำสุดจะพบที่จุดสิ้นสุดของช่วงเวลาของฟังก์ชัน

ทดสอบจุดสิ้นสุดของฟังก์ชั่น:

#f (0) = 0; "ขั้นต่ำแน่นอน:" (0, 0) #

#f (pi / 4) = 2 * pi / 4 sin ^ 2 (pi / 4) + pi / 4 * cos (2 * pi / 4) #

#f (pi / 4) = pi / 2 (1 / sqrt (2)) ^ 2 + pi / 4 * cos (pi / 2) #

#f (pi / 4) = pi / 2 * 1/2 + pi / 4 * 0 #

#f (pi / 4) = pi / 4; "จำนวนสูงสุดแน่นอน:" (pi / 4, pi / 4) #