คุณจะหาขีด จำกัด ของ (ln x) ^ (1 / x) เมื่อ x เข้าใกล้อนันต์อย่างไร

ตอบ:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

คำอธิบาย:

เราเริ่มต้นด้วยกลอุบายทั่วไปเมื่อจัดการกับ exponents ตัวแปร เราสามารถนำบันทึกธรรมชาติของบางสิ่งบางอย่างแล้วยกระดับเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังของฟังก์ชันเลขชี้กำลังโดยไม่ต้องเปลี่ยนค่าเพราะสิ่งเหล่านี้เป็นการดำเนินการแบบผกผัน - แต่ช่วยให้เราสามารถใช้กฎของบันทึกในทางที่เป็นประโยชน์

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x)) ^ (1 / x)) ^ #

การใช้กฎการบันทึกเลขชี้กำลัง:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

สังเกตว่ามันเป็นเลขยกกำลังที่แตกต่างกันไปตาม # xrarroo # เพื่อให้เราสามารถมุ่งเน้นไปที่มันและย้ายฟังก์ชันเลขชี้กำลังภายนอก:

# = exp (lim_ (xrarroo) (LN (LN (x)) / x)) #

หากคุณดูที่พฤติกรรมของฟังก์ชั่นบันทึกธรรมชาติคุณจะสังเกตเห็นว่าเมื่อ x มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดค่าของฟังก์ชันก็มีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดแม้ว่าจะช้ามาก เมื่อเรารับ #ln (LN (x)) # เรามีตัวแปรภายในฟังก์ชั่นบันทึกที่มีแนวโน้มที่จะอินฟินิตี้ช้ามากซึ่งหมายความว่าเรามีฟังก์ชั่นโดยรวมที่มีแนวโน้มที่จะอินฟินิตี้ช้ามาก กราฟด้านล่างมีเฉพาะช่วงสูงสุด # x = 1000 # แต่มันแสดงให้เห็นถึงการเติบโตที่ช้ามากของ #ln (LN (x)) # แม้จะเปรียบเทียบกับการเติบโตที่ช้าของ #ln (x) #.

จากพฤติกรรมนี้เราสามารถอนุมานได้ว่า # x # จะแสดงการเติบโตเชิงซีโมติกที่เร็วขึ้นมากและขีด จำกัด ของเลขชี้กำลังจะเป็นศูนย์ #color (สีน้ำเงิน) ("นี่หมายความว่าขีด จำกัด โดยรวม = 1.") #

เราสามารถจัดการประเด็นนี้ด้วยกฎของ L'hopital เราต้องการขีด จำกัด ที่จะอยู่ในรูปแบบที่ไม่แน่นอนเช่น # 0/0 หรือ oo / oo # ดังนั้นเราตรวจสอบว่าเป็นกรณีนี้:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

นี่เป็นกรณีที่ จำกัด ดังนั้น:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((D / (DX) (LN (LN (x)))) / (D / (DX) x))) #

เพื่อแยกความแตกต่าง #y = ln (ln (x)) # รับรู้ว่าเรามี # y (U (x)) # และใช้กฎลูกโซ่

# (dy) / (dx) = (dy) / (du) (du) / (dx) #

#u = ln (x) แสดงถึง (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) แสดงถึง (dy) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

#therefore (dy) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

อนุพันธ์ของ # x # คือ #1#. ขีด จำกัด กลายเป็น:

# = exp (lim_ (xrarroo) ((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x)))) #

เราได้ระบุไว้ว่าทั้งสองฟังก์ชันในตัวหารมีแนวโน้มที่จะไม่มีตัวตน

#exp (1 / oo) = exp (0) = 1 #