(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) มาทำกันเถอะ ???

ตอบ:

#a = 1, b = 1 #

คำอธิบาย:

วิธีการแก้แบบดั้งเดิม

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

ตอนนี้แก้หา # A #

#a = 1/2 (1 + b pm sqrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # แต่ # A # จะต้องเป็นจริงดังนั้นเงื่อนไขคือ

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # หรือ # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

ตอนนี้แทนและแก้ให้ # A #

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # และทางออกคือ

#a = 1, b = 1 #

อีกวิธีในการทำเช่นเดียวกัน

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

แต่

# 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) #

และการสรุป

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b = 1 #

ตอบ:

D. มีโซลูชันหนึ่งคู่ที่ตรงกัน # (a, b) = (1, 1) #

คำอธิบาย:

ได้รับ:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

โปรดทราบว่าเราสามารถทำให้สิ่งนี้เป็นปัญหาที่สมมาตรเป็นเนื้อเดียวกันได้โดยการสรุปไปที่:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

จากนั้นตั้งค่า # c = 1 # ในตอนท้าย

การขยายทั้งสองด้านของปัญหาทั่วไปนี้เรามี:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

ลบด้านซ้ายจากทั้งสองด้านเราจะได้:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

#color (white) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2-2ca + a ^ 2 #

#color (white) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

สำหรับค่าที่แท้จริงของ # A #, # B # และ c # #สิ่งนี้สามารถระงับได้หากทั้งหมด # (a-ข) #, # (B-c) # และ # (c-A) # เป็นศูนย์และด้วยเหตุนี้:

#a = b = c #

จากนั้นก็ใส่ # c = 1 # เราพบวิธีแก้ปัญหาเดียวกับปัญหาดั้งเดิมคือ # (a, b) = (1, 1) #