ใช้ทฤษฎีบทศูนย์เหตุผลเพื่อค้นหาค่าศูนย์ที่เป็นไปได้ของฟังก์ชันพหุนามต่อไปนี้: f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35?

ตอบ:

เป็นไปได้ มีเหตุผล ศูนย์คือ:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

คำอธิบาย:

ได้รับ:

#f (x) = 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 #

ตามทฤษฎีศูนย์เหตุผล, ศูนย์เหตุผลใด ๆ ของ # f (x) # มีความชัดเจนในแบบฟอร์ม # P / q # สำหรับจำนวนเต็ม #p, q # กับ # P # ตัวหารของเทอมคงที่ #-35# และ # Q # ตัวหารของสัมประสิทธิ์ #33# ของคำชั้นนำ

ตัวหารของ #-35# คือ:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

ตัวหารของ #33# คือ:

#+-1, +-3, +-11, +-33#

ดังนั้นศูนย์เหตุผลที่เป็นไปได้คือ:

#+-1, +-5, +-7, +-35#

#+-1/3, +-5/3, +-7/3, +-35/3#

#+-1/11, +-5/11, +-7/11, +-35/11#

#+-1/33, +-5/33, +-7/33, +-35/33#

หรือเพิ่มขนาด:

#+-1/33, +-1/11, +-5/33, +-7/33, +-5/11, +-7/11, +-1/3, +-1, +-35/33, +-5/3, +-7/3, +-35/11, +-5, +-7, +-35/3, +-35#

โปรดทราบว่าสิ่งเหล่านี้เป็นเพียงความเป็นไปได้อย่างมีเหตุผล ทฤษฎีเลขศูนย์เหตุผลไม่ได้บอกเราเกี่ยวกับค่าศูนย์ที่ไม่ลงตัวหรือซับซ้อน

การใช้กฎสัญญาณของเดส์การตเราสามารถตัดสินได้ว่าลูกบาศก์นี้ไม่มีศูนย์ลบและ #1# หรือ #3# เลขศูนย์จริงบวก

ดังนั้นศูนย์เหตุผลที่เป็นไปได้เท่านั้น:

#1/33, 1/11, 5/33, 7/33, 5/11, 7/11, 1/3, 1, 35/33, 5/3, 7/3, 35/11, 5, 7, 35/3, 35#

ลองในทางกลับกันเราพบว่า:

#f (1/11) = 33 (สี (สีน้ำเงิน) (1/11)) ^ 3-245 (สี (สีน้ำเงิน) (1/11)) ^ 2 + 407 (สี (สีน้ำเงิน) (1/11)) -35 #

#color (white) (f (1/11)) = (3-245 + 4477-4235) / 121 #

#color (white) (f (1/11)) = 0 #

ดังนั้น # x = 1/11 # เป็นศูนย์และ # 11x-1 # ปัจจัย:

# 33x ^ 3-245x ^ 2 + 407x-35 = (11x-1) (3x ^ 2-22x + 35) #

ในการแยกตัวประกอบกำลังสองที่เหลือเราสามารถใช้วิธี AC:

ค้นหาคู่ของปัจจัย #AC = 3 * 35 = 105 # กับผลรวม # B = 22 #

คู่ #15, 7# โรงงาน

ใช้คู่นี้เพื่อแยกเทอมกลางแล้วแยกกลุ่มโดยการจัดกลุ่ม:

# 3x ^ 2-22x + 35 = (3x ^ 2-15x) - (7x-35) #

#color (white) (3x ^ 2-22x + 35) = 3x (x-5) -7 (x-5) #

#color (white) (3x ^ 2-22x + 35) = (3x-7) (x-5) #

ดังนั้นอีกสองศูนย์คือ:

# x = 7/3 "" # และ # "" x = 5 #