จำนวนวิธีการแบ่งไพ่ 52 ใบระหว่างผู้เล่นสี่คนเพื่อให้ผู้เล่นสามคนมี 17 ใบในแต่ละใบและผู้เล่นคนที่สี่เหลือเพียงใบเดียวเท่านั้น?

จำนวนวิธีการแบ่งไพ่ 52 ใบระหว่างผู้เล่นสี่คนเพื่อให้ผู้เล่นสามคนมี 17 ใบในแต่ละใบและผู้เล่นคนที่สี่เหลือเพียงใบเดียวเท่านั้น?
Anonim

ตอบ:

# (((52) (17)) ((35), (17)) ((18) (17)) ((1) (1))) / 6 ~~ 2.99xx10 ^ 23 # วิธี

คำอธิบาย:

ก่อนอื่นเรามาดูกันว่านี่เป็นปัญหาการรวมกัน - เราไม่สนใจเกี่ยวกับลำดับการแจกไพ่:

#C_ (n, k) = ((n) (k)) = (n!) / ((k) (n-k)!) # กับ # n = "ประชากร", k = "เลือก" #

วิธีหนึ่งที่เราสามารถทำได้คือดูว่าสำหรับคนแรกเราจะเลือก 17 จาก 52 ใบ:

#((52),(17))#

สำหรับคนที่สองเราจะเลือก 17 ใบจาก 35 ใบที่เหลือ:

#((52),(17))((37),(17))#

และเราสามารถทำสิ่งเดียวกันสำหรับผู้เล่นคนต่อไป:

#((52),(17))((35),(17))((18),(17))#

และเราสามารถป้อนคำสุดท้ายสำหรับผู้เล่นคนสุดท้ายเช่นกัน:

#((52),(17))((35),(17))((18),(17))((1),(1))#

และสำหรับบิตสุดท้าย - เราได้ตั้งค่านี้เพื่อให้มีคนแรกที่แน่นอนจากนั้นเป็นคนที่สองจากนั้นเป็นบุคคลที่สามจากนั้นเป็นบุคคลที่สามจากนั้นเป็นคนสุดท้าย - ซึ่งอาจโอเค แต่เรากำลังรักษาคนแรกแตกต่างกว่าคนที่สอง และทั้งสองนั้นแตกต่างจากที่สามแม้ว่าพวกเขาควรจะเหมือนกันในวิธีการวาดของพวกเขา เราได้จัดทำคำสั่งซื้อที่สำคัญและคำสั่งซื้อเป็นแนวคิดการเปลี่ยนแปลง (ดูด้านล่างสำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้)

เราไม่ต้องการให้คำสั่งซื้อมีความสำคัญและจำเป็นต้องหารด้วยจำนวนวิธีที่เราสามารถจัดให้คนสามคน - ซึ่งก็คือ #3! = 6#

ทั้งหมดนี้ให้:

# (((52) (17)) ((35), (17)) ((18) (17)) ((1) (1))) / 6 ~~ 2.99xx10 ^ 23 # วิธี

~~~~~

ลองดูตัวอย่างที่มีขนาดเล็กลงเพื่อดูโน้ตตามลำดับ ลองทำ 5 รายการและจัดจำหน่ายใน 3 คน: 2 คนได้รับ 2 รายการต่อคนและคนสุดท้ายจะได้รับรายการที่เหลือ คำนวณแบบเดียวกับที่เราทำข้างต้น:

# ((5), (2)) ((3), (2)) ((1) (1)) = 10xx3xx1 = 30 # วิธี

แต่ถ้าเรานับพวกเขาออกมาจริงๆ:

A, BC, DE

A, BD, CE

A, BE, CD

B, AC, DE

B, โฆษณา, CE

B, AE, CD

C, AB, DE

C, AD, BE

C, AE, BD

D, AB, CE

D, AC, BE

D, AE, BC

E, AB, CD

E, AC, BD

E, AD, BC

มีเพียง 15. ทำไม เราทำการคำนวณคนแรกและคนที่สองอย่างชัดเจนในการคำนวณ (เราเลือกจาก 5, เลือกถัดจาก 3) และเราจึงทำการสั่งซื้อ โดยการหารด้วยจำนวนคนที่ควรจะเท่ากัน แต่ไม่ได้อยู่ในการคำนวณเราหารลำดับหรือจำนวนคนที่ควรจะเท่ากัน แต่ไม่ใช่แฟคทอเรียล ในกรณีนี้หมายเลขนั้นคือ 2 เป็นต้น #2! = 2#ให้:

#30/2=15# ซึ่งเป็นคำตอบที่ถูกต้อง