พบศพในเวลา 10:00 น. ในคลังสินค้าที่มีอุณหภูมิ 40 ° F แพทย์ตรวจสอบพบว่าอุณหภูมิของร่างกายเป็น 80 ° F เวลาประมาณตายคืออะไร

ตอบ:

ช่วงเวลาแห่งความตายโดยประมาณคือ #8:02:24# am

สิ่งสำคัญที่ควรทราบคืออุณหภูมิผิวหนังของร่างกาย ผู้ตรวจสอบทางการแพทย์จะทำการวัดอุณหภูมิภายในซึ่งจะลดลงช้ากว่ามาก

คำอธิบาย:

กฎการระบายความร้อนของนิวตันระบุว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิเป็นสัดส่วนกับความแตกต่างของอุณหภูมิแวดล้อม กล่าวคือ

# (dT) / (dt) prop T - T_0 #

ถ้า #T> T_0 # จากนั้นร่างกายควรเย็นลงดังนั้นอนุพันธ์ควรเป็นลบดังนั้นเราจึงใส่ค่าคงที่สัดส่วนและมาถึง

# (dT) / (dt) = -k (T - T_0) #

ทวีคูณออกจากวงเล็บและเปลี่ยนสิ่งที่ทำให้เรา:

# (dT) / (dt) + kT = kT_0 #

ตอนนี้สามารถใช้วิธีการรวมตัวกันของการแก้ปัญหา ODE

#I (x) = e ^ (intkdt) = e ^ (kt) #

ทวีคูณทั้งสองข้างด้วย # ฉัน (x) # เพื่อรับ

# e ^ (kt) (dT) / (dt) + e ^ (kt) kT = e ^ (kt) kT_0 #

โปรดสังเกตว่าโดยใช้กฎผลิตภัณฑ์เราสามารถเขียน LHS ใหม่โดยปล่อย:

# d / (dt) Te ^ (kt) = e ^ (kt) kT_0 #

รวมทั้งสองด้านเข้าด้วยกัน # เสื้อ #.

# Te ^ (kt) = kT_0 int e ^ (kt) dt #

# Te ^ (kt) = T_0e ^ (kt) + C #

หารด้วย # อี ^ (KT) #

#T (t) = T_0 + Ce ^ (- kt) #

อุณหภูมิของร่างกายมนุษย์โดยเฉลี่ยคือ # 98.6 ° "F" #.

#implies T (0) = 98.6 #

# 98.6 = 40 + Ce ^ 0 #

#implies C = 58.6 #

ปล่อย # t_f # เป็นเวลาที่ร่างกายจะพบ

#T (t_f) = 80 #

# 80 = 40 + 58.6e ^ (- kt_f) #

# 40 / (58.6) = e ^ (- kt_f) #

#ln (40 / (58.6)) = -kt_f #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / k #

#t_f = - ln (40 / (58.6)) / (0.1947) #

#t_f = 1.96 ชม. #

ดังนั้นจากช่วงเวลาแห่งความตายสมมติว่าร่างกายเริ่มเย็นลงทันทีมันใช้เวลา 1.96 ชั่วโมงถึง 80 ° F ณ จุดที่พบ

# 1.96hr = 117.6 นาที #

ช่วงเวลาแห่งความตายโดยประมาณคือ #8:02:24# am