คุณใช้ทฤษฎีบทค่ากลางเพื่อตรวจสอบว่ามีศูนย์ในช่วงเวลา [0,1] สำหรับ f (x) = x ^ 3 + x-1 ได้อย่างไร

ตอบ:

มี 1 ศูนย์ในช่วงเวลานี้

คำอธิบาย:

ทฤษฎีบทค่ากลางระบุว่าสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องที่กำหนดตามช่วงเวลา # a, b # เราสามารถปล่อยให้ c # # เป็นตัวเลขกับ

#f (a) <c <f (b) # และนั่น #EE x ใน a, b # ดังนั้น #f (x) = c #.

ข้อพิสูจน์ของเรื่องนี้ก็คือถ้าหากสัญญาณของ #f (a)! = # สัญลักษณ์ของ #FB)# นี่หมายความว่าจะต้องมีบางอย่าง #x ใน a, b # ดังนั้น #f (x) = 0 # เพราะ #0# เห็นได้ชัดระหว่างเชิงลบและบวก

ดังนั้นขอย่อยในจุดสิ้นสุด:

#f (0) = 0 ^ 3 + 0 -1 = -1 #

#f (1) = 1 ^ 3 + 1 - 1 = 1 #

#ดังนั้น# มีอย่างน้อยหนึ่งศูนย์ในช่วงเวลานี้ เพื่อตรวจสอบว่ามีเพียงรากเดียวเราดูอนุพันธ์ที่ให้ความชัน

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1 #

เราเห็นได้ว่า #AA x ใน a, b, f '(x)> 0 # ดังนั้นฟังก์ชั่นจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้เสมอ - นี่หมายความว่ามีเพียงหนึ่งรูทในช่วงเวลานี้