วิธีการหาอนุพันธ์อันดับแรกของ f (x) = 2 sin (3x) + x?

ตอบ:

# f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

คำอธิบาย:

แยกความแตกต่างแต่ละคำ:

# (d (x)) / DX = 1 #

การใช้กฎลูกโซ่สำหรับเทอมที่สองเรามี:

#G (x) = h (k (x)) => g '(x) = k' (x) H '(k (x)) #

ด้วย:

# h (U) = 2sin (U) => H '(U) = 2cos (U) #

#K (x) = 3x => k '(x) = 3 #

#G (x) = 2sin (3x) => g '(x) = 6cos (3x) #

เรามี:

# f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

ตอบ:

เราถูกขอให้ค้นหาอนุพันธ์ของ #f (x) = 2sin (3x) + x # ใช้คำนิยาม: #f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) - f (x)) / (h) #.

คำอธิบาย:

เราจำเป็นต้องประเมิน:

#lim_ (hrarr0) (overbrace (2sin (3 (x + h)) + (x + h)) ^ (f (x + h)) - overbrace (2sin (3x) + x) ^ f (x)) / H #.

นี่จะยุ่งยาก เพื่อให้มันดูซับซ้อนน้อยลงให้แบ่งนิพจน์ออกเป็นสองส่วนที่ง่ายกว่า เราจะแยกส่วนตรีโกณมิติและส่วนเชิงเส้นแยกจากกัน

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

ฉันจะสมมติว่าคุณสามารถแสดงให้เห็นว่าขีด จำกัด ที่สองคือ #1#. ขีด จำกัด ที่ท้าทายมากขึ้นคือขีด จำกัด ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h = 2lim_ (hrarr0) (sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (overbrace ((sin3xcos3h + cos3xsin3h)) ^ sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3xcos3x -sin3x + cos3xsin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) ((sin3x (cos3h - 1)) / h + (cos3xsin3h) / h) #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3x (cos3h - 1) / h + cos3x (sin3h) / h) #

# = 2 lim_ (hrarr0) sin3x lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / h + lim_ (hrarr0) cos3x lim_ (hrarr0) (sin3h) / h #

# = 2 (lim_ (hrarr0) sin3x) (3lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / (3h)) + (lim_ (hrarr0) cos3x) (3lim_ (hrarr0) (sin3h) / (3h)) #

# = 2 (sin3x) (3 * 0) + (cos3x) (3 * 1) #

# = 2 (3cos3x) = 6cos (3x) #

ดังนั้นเมื่อเรารวมสองชิ้นเข้าด้วยกันเราจะได้:

#f '(x) = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) + (x + h) - 2sin (3x) + x) / h #

# = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

# = 6cos (3x) + 1 #