(3 + i) ^ (1/3) เท่ากันในรูปแบบ + bi คืออะไร

ตอบ:

#root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + ราก (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

คำอธิบาย:

# 3 + i = sqrt (10) (cos (alpha) + i sin (alpha)) # ที่ไหน #alpha = arctan (1/3) #

ดังนั้น

#root (3) (3 + i) = root (3) (sqrt (10)) (cos (alpha / 3) + i sin (alpha / 3)) #

# = root (6) (10) (cos (1/3 arctan (1/3)) + i sin (1/3 arctan (1/3))) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i #

ตั้งแต่ # 3 + i # อยู่ใน Q1, คิวบ์รูทหลักของ # 3 + i # ยังอยู่ใน Q1

อีกสองคิวบ์รูทของ # 3 + i # สามารถแสดงออกได้โดยใช้รากคิวบ์แบบดั้งเดิมของความเป็นเอกภาพ #omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2 ฉัน #:

#omega (root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) + root (6) (10) บาป (1/3 arctan (1/3) + (2pi) / 3) ฉัน #

# omega ^ 2 (root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3)) + root (6) (10) sin (1/3 arctan (1/3)) i) #

# = root (6) (10) cos (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) + root (6) (10) บาป (1/3 arctan (1/3) + (4pi) / 3) ฉัน #