Quaternions คืออะไร?

ตอบ:

ชนิดของจำนวนที่การคูณไม่ได้เป็นแบบทั่วไป

คำอธิบาย:

ตัวเลขจริง (# RR #) สามารถถูกแทนด้วยเส้น - ช่องว่างหนึ่งมิติ

ตัวเลขที่ซับซ้อน (# CC #) สามารถแสดงด้วยระนาบ - พื้นที่สองมิติ

สี่คน (H) สามารถแสดงด้วยช่องว่างสี่มิติ

ในเลขคณิตทั่วไปเลขเป็นไปตามกฎต่อไปนี้:

การเพิ่ม

บัตรประจำตัว: #EE 0: AA a: a + 0 = 0 + a = a #

ผกผัน: #AA a EE (-a): a + (-a) = (-a) + a = 0 #

associativity: #AA a, b, c: (a + b) + c = a + (b + c) #

commutativity: #AA a, b: a + b = b + a #

การคูณ

บัตรประจำตัว: #EE 1: AA a: a * 1 = 1 * a = a #

ค่าผกผันของค่าที่ไม่เป็นศูนย์: #AA a! = 0 EE 1 / a: a * 1 / a = 1 / a * a = 1 #

associativity: #AA a, b, c: (a * b) * c = a * (b * c) #

commutativity: #color (สีแดง) (AA a, b: a * b = b * a) #

ด้วยกัน

distributivity: # {(a * (b + c) = (a * b) + (a * c)), ((a + b) * c = (a * c) + (b * c)):} #

#COLOR (สีขาว) () #

กฎเหล่านี้ใช้ได้กับชุดของจำนวนตรรกยะ # # QQชุดของจำนวนจริง # RR # และตัวเลขที่ซับซ้อน # CC # และกำหนดสิ่งที่เรียกว่า สนาม - ชุดที่มีการทำงานของการเพิ่มและการคูณตามกฎเหล่านี้

สี่คน (H) คือสิ่งที่เรียกว่า เขตลาดเอียง หรือ พีชคณิตการแบ่งกลุ่ม - ชุดที่มีการทำงานของการเพิ่มและการคูณที่ตอบสนองเงื่อนไขเหล่านี้ทั้งหมดยกเว้นการสับเปลี่ยนของการคูณ

การเป็น #4# ปริภูมิเวกเตอร์แบบมิติเหนือ Reals พวกมันเป็นพีชคณิตส่วนที่เชื่อมโยงที่ใหญ่ที่สุดเหนือ Reals อีกสองอันเท่านั้น # RR # และ # CC #.

นอกเหนือจากแกนจริงหน่วยบนอีกสามแกนเรียกว่า #ผม#, # J # และ # k #. มันเป็นรากที่สองของ #-1#.

หน่วยจินตภาพทั้งสามนี้เป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

#ij = k #

#jk = i #

#ki = j #

#ji = -k #

#kj = -i #

#ik = -j #

Quaternions สามารถแสดงโดย # 2xx2 # เมทริกซ์ที่มีค่าที่ซับซ้อนหรือตาม # 4xx4 # เมทริกซ์ที่มีค่าจริง

พวกเขามีการใช้งานในกลศาสตร์และฟิสิกส์ทฤษฎี

#COLOR (สีขาว) () #

เชิงอรรถ

สังเกตว่าฉันพูด ที่สมาคม พีชคณิตการแบ่ง นอกเหนือจาก Quaternions คือ Octonions ที่เป็นคนแปลกหน้าซึ่งลดข้อกำหนดที่การคูณเข้าด้วยกัน