คำถาม # 242a2

ตอบ:

สำหรับพลังงานที่เก็บไว้ในตัวเก็บประจุในเวลา # เสื้อ # เรามี #E (t) == E (0) exp (-2t / (CR)) # ที่ไหน #E (0) # เป็นพลังงานเริ่มต้น # C # ความจุและ # R # ความต้านทานของสายเชื่อมต่อทั้งสองด้านของตัวเก็บประจุ

คำอธิบาย:

ให้เราตรวจสอบแนวคิดหลักบางอย่างก่อนที่จะตอบคำถามนี้ แน่นอนว่าเราต้องรู้พลังงานที่เก็บไว้ในตัวเก็บประจุหรือพลังงานที่เก็บไว้ในสนามไฟฟ้าที่สร้างขึ้นโดยประจุที่เก็บไว้ในตัวเก็บประจุ สำหรับวันนี้เรามีสูตร # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # กับ # C # ความจุของตัวเก็บประจุและ # Q # ประจุที่เก็บอยู่บนแผ่นประจุตัวใดตัวหนึ่ง 1

ดังนั้นเพื่อที่จะทราบว่าพลังงานลดลงอย่างไรเราต้องรู้ว่าประจุลดลงได้อย่างไร สำหรับเรื่องนี้มีบางสิ่งที่เราควรจำไว้ สิ่งแรกคือการชาร์จสามารถลดลงได้หากสามารถไปได้ทุกที่ สถานการณ์ที่ง่ายที่สุดคือแผ่นทั้งสองเชื่อมต่อกันด้วยลวดเพื่อให้แผ่นสามารถแลกเปลี่ยนประจุเพื่อที่พวกเขาจะได้เป็นกลาง สิ่งที่สองคือถ้าเราสมมติว่าลวดไม่มีความต้านทานประจุจะสามารถเคลื่อนที่ได้ในทันทีดังนั้นพลังงานจะลดลงเป็นศูนย์ในอัตรานั้นเช่นกัน เนื่องจากนี่เป็นสถานการณ์ที่น่าเบื่อและนอกจากนั้นไม่สมจริงเหมือนจริงเราจึงถือว่าลวดมีความต้านทานบ้าง # R #ซึ่งเราสามารถสร้างแบบจำลองโดยเชื่อมต่อตัวเก็บประจุแผ่นผ่านตัวต้านทานที่มีความต้านทาน # R # ใช้สายต้านทานน้อย

สิ่งที่เรามีตอนนี้เรียกว่า RC-circuit ดังที่เห็นด้านล่าง เพื่อที่จะทราบว่าการเปลี่ยนแปลงของประจุที่เก็บไว้นั้นเราจำเป็นต้องเขียนสมการเชิงอนุพันธ์ ฉันไม่แน่ใจว่าผู้อ่านมีความเชี่ยวชาญด้านคณิตศาสตร์มากแค่ไหนดังนั้นโปรดแจ้งให้เราทราบหากส่วนต่อไปนี้ไม่ชัดเจนสำหรับคุณและฉันจะพยายามอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติม

ก่อนอื่นเราทราบว่าเมื่อเราเดินไปตามเส้นลวดเราจะได้พบกับศักย์ไฟฟ้าสองครั้ง (แรงดันไฟฟ้า) คือที่ตัวเก็บประจุและตัวต้านทาน การกระโดดเหล่านี้ได้รับจาก # DeltaV_C = Q / C # และ # DeltaV_R = IR # ตามลำดับ 1 เราทราบว่าในตอนแรกไม่มีกระแสดังนั้นความแตกต่างที่เป็นไปได้ของตัวต้านทานคือ 0 อย่างไรก็ตามอย่างที่เราเห็นจะมีกระแสเมื่อประจุเริ่มเคลื่อนที่ ตอนนี้เราทราบว่าเมื่อเราเดินไปรอบ ๆ วงจรเริ่มต้นจากจุดหนึ่งเราจะสิ้นสุดในจุดเดียวกันอีกครั้งเพราะเราอยู่ในวงจร ณ จุดนี้มีศักยภาพเท่ากันทั้งสองครั้งเพราะเป็นจุดเดียวกัน (เมื่อฉันบอกว่าเราเดินไปตามวงจรฉันไม่ได้หมายถึงสิ่งนี้อย่างแท้จริง แต่เราตรวจสอบแรงดันไฟฟ้าที่กระโดดบนวงจร ณ จุดหนึ่งในเวลาหนึ่งดังนั้นจึงไม่มีเวลาผ่านไปเมื่อเดินไปตามวงจรดังนั้นการถกเถียงยังคงอยู่แม้ว่า แรงดันไฟฟ้าเปลี่ยนแปลงตามเวลา)

ซึ่งหมายความว่าการกระโดดที่มีศักยภาพรวมเป็นศูนย์ ดังนั้น # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #. ตอนนี้เราคิดเกี่ยวกับอะไร #ผม#ปัจจุบันคือ ปัจจุบันกำลังเคลื่อนที่ประจุมันใช้ประจุบวกห่างจากแผ่นประจุหนึ่งและส่งไปประจุอีกประจุ (อันที่จริงส่วนใหญ่แล้วมันเป็นวิธีอื่น ๆ แต่มันไม่สำคัญสำหรับคณิตศาสตร์ของปัญหานี้) ซึ่งหมายความว่าปัจจุบันเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของประจุบนจานในคำอื่น ๆ # I = (dQ) / dt #. การแทนสิ่งนี้ในสมการข้างบนทำให้เราได้ # (dQ) / DTR + Q / C = 0 #, ซึ่งหมายความว่า # (dQ) / dt = -Q / (CR) #. นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งของเส้นตรงที่เรียกว่า มันกำหนดการเปลี่ยนแปลงของประจุด้วยค่าของประจุในเวลานั้นในลักษณะเชิงเส้นหมายความว่าถ้าประจุมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่าประจุที่เปลี่ยนแปลงก็จะใหญ่เป็นสองเท่าเช่นกัน เราสามารถแก้สมการนี้ได้ด้วยการใช้แคลคูลัสอย่างชาญฉลาด

# (dQ) / dt = -Q / (CR) #, เราถือว่า # Qne0 #ซึ่งมันไม่ได้เริ่มต้นและมันจะเปิดออกมันจะไม่เป็น ใช้สิ่งนี้เราสามารถพูดได้ # 1 / Q (dQ) / dt = -1 / (CR) #. เพื่อทราบ # Q # ในบางช่วงเวลา # เสื้อ # (ในคำอื่น ๆ #Q (t) #เรารวมสมการดังนี้ # int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (DT) dt '= ^ int_0 t1 / (CR) dt' = - ตัน / (CR) # ตั้งแต่ # C # และ # R # เป็นค่าคงที่ # int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (DT) dt '= int_ (Q (0)) ^ (Q (t)) (dQ) / Q = LN ((Q (t)) / (Q (0))) # ผ่านการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร ซึ่งหมายความว่า #ln ((Q (t)) / (Q (0))) = - ตัน / (CR) #ดังนั้น #Q (t) = Q (0) exp (t-/ (CR)) #.

สุดท้ายเราต้องเปลี่ยนกลับมาเป็นสมการพลังงาน:

#E (t) = 1/2 (Q (t) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2t / (CR)) = E (0) exp (-2t / (CR)) #.

ดังนั้นพลังงานจึงลดลงตามช่วงเวลา แน่นอนเราเห็นว่าถ้า # R # ต้องไปที่ศูนย์ #E (t) # จะไปที่ 0 ทันที

1 Griffiths, David J. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับไฟฟ้ากระแส. ฉบับที่สี่ Pearson Education Limited, 2014