ตอบ:
เปลี่ยนเป็น # 1 + ฉัน # (ในเครื่องคิดเลขกราฟ Ti-83 ของฉัน)
คำอธิบาย:
ปล่อย # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + … }}}}} #
ก่อนสมมติว่าซีรีส์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดนี้มาบรรจบกัน (เช่นสมมติว่ามี S และรับค่าของจำนวนเชิงซ้อน)
# S ^ 2 = -2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + … }}}} #
# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + … }}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + … }}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
และถ้าคุณแก้ปัญหาสำหรับ S:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
และใช้สูตรสมการกำลังสองที่คุณได้รับ:
# S = frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} = 1 pm ฉัน #
โดยปกติฟังก์ชันสแควร์รูทจะรับค่าบวกดังนั้น # S = 1 + i #
ดังนั้นหากมันมาบรรจบกันมันจะต้องมาบรรจบกัน # 1 + ฉัน #
ตอนนี้สิ่งที่คุณต้องทำคือพิสูจน์ว่ามันมาบรรจบกันหรือถ้าคุณขี้เกียจเหมือนฉันแล้วคุณสามารถเสียบ # sqrt {-2} # เป็นเครื่องคิดเลขที่สามารถจัดการตัวเลขในจินตนาการและใช้ความสัมพันธ์ที่เกิดซ้ำ:
# f (1) = sqrt {-2} #
# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
ฉันทำซ้ำหลายครั้งใน Ti - 83 ของฉันและพบว่ามันเข้าใกล้ตัวอย่างมากขึ้นหลังจากที่ฉันทำซ้ำที่อื่นประมาณ 20 ครั้ง
# 1.000694478 + 1.001394137i #
การประมาณที่ดีงาม
