ตอบ:
# "พื้นที่รวมขั้นต่ำ = 10.175 ซม." #
# "พื้นที่รวมสูงสุด = 25 ซม. ²" #
คำอธิบาย:
# "ชื่อ x ความยาวของชิ้นส่วนเพื่อสร้างตาราง" #
# "จากนั้นพื้นที่ของสแควร์คือ" (x / 4) ^ 2 "." #
# "ปริมณฑลของสามเหลี่ยมคือ" 20-x "" #
# "ถ้า y เป็นหนึ่งในด้านเท่ากันของสามเหลี่ยมเราจะได้" #
# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #
# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #
# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #
# => area = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) #
# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #
# "พื้นที่ทั้งหมด =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 ตารางเมตร (2)) #
# = x ^ 2/16 + x ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #
# = x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2))) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #
# "นี่คือ parabole และขั้นต่ำสำหรับ parabole" #
#a x ^ 2 + b x + c = 0 "คือ" x = -b / (2 * a) "ถ้า a> 0"
# "ค่าสูงสุดคือ" x-> oo "ถ้า a> 0" #
# "ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ" #
#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2))) #
# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2)))) #
# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #
# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #
# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #
# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #
# = 8.13965 "cm" #
# => "พื้นที่ทั้งหมด =" 10.175 "cm²" #
# "ค่าสูงสุดคือ x = 0 หรือ x = 20" #
# "เราตรวจสอบพื้นที่:" #
# "เมื่อ" x = 0 => "พื้นที่ =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17.157 "cm²" #
# "เมื่อ" x = 20 => "พื้นที่ =" 5 ^ 2 = 25 "cm²" #
# "ดังนั้นพื้นที่รวมสูงสุดคือ 25 ซม. ²" #
ตอบ:
พื้นที่ขั้นต่ำคือ #10.1756# และสูงสุดคือ #25#
คำอธิบาย:
เส้นรอบวงของหน้าจั่วสามเหลี่ยมมุมฉากของด้านข้าง # A # คือ # A + A + sqrt2a = a (2 + sqrt2) # และพื้นที่ของมันคือ # a ^ 2/2 #,
ขอให้เป็นชิ้นเดียว # x # ซม. จากที่เราสร้างสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมฉาก เห็นได้ชัดว่าด้านข้างของสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมฉากจะเป็น # x / (2 + sqrt2) # และพื้นที่ของมันจะเป็น
# x ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #
= # (x ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #
ปริมณฑลของส่วนอื่น ๆ ของสตริงซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ # (20 x) # และด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ # (20 x) / 4 # พื้นที่ของมันคือ # (20 x) ^ 2/16 # และพื้นที่ทั้งหมด # T # ของทั้งสองคือ
# t = (20 x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #
= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #
= # 25 (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #
สังเกตว่า # 3-2sqrt2> 0 #ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ของ # x ^ 2 # เป็นบวกและด้วยเหตุนี้เราจะมีค่าต่ำสุดและเราสามารถเขียนได้ # T # เช่น
# t = 0.1054x ^ 2-2.5x + 25 #
= # 0.1054 (x ^ 2-23.7192x + (11.8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11.8596) ^ 2 #
= # 0.1054 (x-11,8596) ^ 2 + 10,1756 #
เช่น # 0.1054 (x-11,8596) ^ 2 # เป็นค่าบวกเสมอเรามีค่าต่ำสุดที่ # T # เมื่อ # x = 11.8596 #.
สังเกตว่าในทางทฤษฎีไม่มีค่าสูงสุดสำหรับฟังก์ชัน แต่เป็นค่าของ # x # อยู่ระหว่าง #0,20#, และเมื่อ # x = 0 #, เรามี # t = 0,1054 (0-11.8596) ^ 2 + 10,1756 #
= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10.1756 = 25 #
และเมื่อ # x = 20 # เมื่อ # t = 0,1054 (20-11.8596) ^ 2 + 10,1756 #
= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10.1756 = 17.16 #
และด้วยเหตุนี้ maxima คือ #25#
กราฟ {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11.92, 28.08, -0.96, 19.04}
