Extrema ของ f (x) = 3x-1 / sinx บน [pi / 2, (3pi) / 4] คืออะไร?

ตอบ:

ขั้นต่ำสัมบูรณ์บนโดเมนเกิดขึ้นที่ประมาณ # (pi / 2, 3.7124) #และค่าสัมบูรณ์สูงสุดในโดเมนจะเกิดขึ้นที่ประมาณ # (3pi / 4, 5.6544) #. ไม่มี Extrema ท้องถิ่น

คำอธิบาย:

ก่อนที่เราจะเริ่มมันจะทำให้เราต้องวิเคราะห์และดูว่า #sin x # ใช้เวลากับค่าของ #0# ที่จุดใดก็ได้ในช่วงเวลา #sin x # เป็นศูนย์สำหรับ x ทั้งหมดเช่นนั้น #x = npi #. # ปี่ / 2 # และ # 3pi / 4 # มีทั้งน้อยกว่า # # ปี่ และยิ่งกว่า # 0pi = 0 #; ดังนั้น, #sin x # ไม่รับค่าเป็นศูนย์ที่นี่

เพื่อที่จะตัดสินสิ่งนี้จำได้ว่าเหตุการณ์ร้ายแรงเกิดขึ้นที่ไหน #f '(x) = 0 # (จุดวิกฤติ) หรือที่หนึ่งในปลายทาง ในความคิดนี้เราหาอนุพันธ์ของ f (x) ด้านบนและหาจุดที่อนุพันธ์นี้มีค่าเท่ากับ 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / บาป x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

เราจะแก้คำสุดท้ายนี้อย่างไร

พิจารณาคร่าวๆ กฎซึ่งกันและกันซึ่งพัฒนาขึ้นเพื่อจัดการกับสถานการณ์เช่นเทอมสุดท้ายของเราที่นี่ # d / (dx) (1 / บาป x) #. กฎการแลกเปลี่ยนซึ่งกันและกันช่วยให้เราสามารถข้ามโดยตรงโดยใช้กฎลูกโซ่หรือความฉลาดทางโดยระบุว่าได้รับฟังก์ชั่น differentiable #G (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

เมื่อ #g (x)! = 0 #

กลับไปที่สมการหลักของเราเราทิ้งไป

# 3 - d / dx (1 / บาป x) #.

ตั้งแต่ #sin (x) # เป็น differentiable เราสามารถใช้กฎซึ่งกันและกันที่นี่:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

การตั้งค่านี้เท่ากับ 0 เรามาถึงที่:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้เมื่อ #cos x / sin ^ 2 x = -3. #. จากที่นี่มันอาจทำให้เราต้องใช้คำนิยามตรีโกณมิติอย่างใดอย่างหนึ่งโดยเฉพาะ # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

ซึ่งคล้ายกับพหุนามด้วย #cos x # แทนที่ x ดั้งเดิมของเรา ดังนั้นเราจึงประกาศ #cos x = u # และ…

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. ใช้สูตรสมการกำลังสองได้ที่นี่ …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

รากของเราเกิดขึ้นที่ #u = (1 + -sqrt37) / 6 # ตามนี้ อย่างไรก็ตามหนึ่งในรากเหล่านี้ (# (1 + sqrt37) / 6 #) ไม่สามารถเป็นรากของ #cos x # เพราะรากมากกว่า 1 และ # -1 <= cosx <= 1 # สำหรับ x ทั้งหมด ในทางกลับกันรูทที่สองของเราคำนวณเป็นประมาณ #-.847127#. อย่างไรก็ตามนี่จะน้อยกว่าค่าต่ำสุดของ #cos x # ฟังก์ชั่นสามารถในช่วงเวลา (ตั้งแต่ #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -.707 <-.847127 #. ดังนั้น, ไม่มีจุดวิกฤติในโดเมน.

ในใจเราต้องกลับไปที่จุดสิ้นสุดของเราและนำไปไว้ในฟังก์ชั่นดั้งเดิม การทำเช่นนั้นเราได้รับ #f (pi / 2) ประมาณ 3.7124, f (3pi / 4) ประมาณ 5.6544 #

ดังนั้นขั้นต่ำสัมบูรณ์ของเราบนโดเมนจึงอยู่ที่ประมาณ # (pi / 2, 3.7124), # และค่าสูงสุดของเราคือประมาณ # (3pi / 4, 5.6544) #