อะไรคือ extrema และ saddle points ของ f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) ในช่วง x, y ใน [-pi, pi]?

ตอบ:

คำอธิบาย:

เรามี:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

# = -6sinxsin ^ 2y #

ขั้นตอนที่ 2 - ระบุจุดวิกฤติ

จุดวิกฤติเกิดขึ้นที่ทางออกพร้อมกันของ

# f_x = f_y = 0 iff (บางส่วน f) / (บางส่วน x) = (บางส่วน f) / (บางส่วน y) = 0 #

เช่นเมื่อ:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # พร้อมกัน

พิจารณาสมการ A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

จากนั้นเรามีคำตอบสองข้อ:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

ตอนนี้ให้เราใช้ Eq B เพื่อค้นหาพิกัดที่เกี่ยวข้อง:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

# >> 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi #

# y = 0, + - pi => x ใน RR # (ราง)

ซึ่งทำให้เรามีจุดสำคัญต่อไปนี้:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) # (4 จุดวิกฤติ)

# (+ -pi / 2, + -pi) # (4 จุดวิกฤติ)

# (อัลฟา, 0) AA อัลฟาใน RR # (สายรางน้ำ)

# (อัลฟา, + -pi) AA อัลฟาใน RR # (2 รางน้ำสาย)

พิจารณาสมการ B

# -6sinxsin2y = 0 #

จากนั้นเรามีคำตอบสองข้อ:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

# >> y = 0, + -pi / 2, + - pi #

ตอนนี้ให้เราใช้ Eq A เพื่อหาพิกัดที่สอดคล้องกัน @

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (ซ้ำจากด้านบน)

# y = 0 => x ใน RR # (ทำซ้ำด้านบน)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

# >> x = + - pi / 2 # (ซ้ำจากด้านบน)

ซึ่งทำให้เราไม่มีประเด็นสำคัญเพิ่มเติม:

ขั้นตอนที่ 3 - จำแนกจุดวิกฤติ

เพื่อจัดประเภทจุดวิกฤตเราทำการทดสอบคล้ายกับของแคลคูลัสหนึ่งตัวแปรโดยใช้อนุพันธ์ย่อยที่สองและ Hessian Matrix

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((บางส่วน ^ 2 f) / (บางส่วน x ^ 2), (บางส่วน ^ 2 f) / (บางส่วน x บางส่วน y)), ((บางส่วน ^ 2 f) / (บางส่วน y บางส่วน x), (บางส่วน ^ 2 f) / (บางส่วน y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

จากนั้นขึ้นอยู่กับมูลค่าของ # # เดลต้า:

# {: (เดลต้า> 0, "มีค่าสูงสุดถ้า" f_ (xx) <0), (, "และค่าต่ำสุดถ้า" f_ (xx)> 0), (เดลต้า <0, "มีจุดอาน"), (Delta = 0, "จำเป็นต้องทำการวิเคราะห์เพิ่มเติม"):} #

การใช้แมโคร excel ที่กำหนดเองค่าฟังก์ชันพร้อมกับค่าอนุพันธ์บางส่วนจะถูกคำนวณดังนี้:

นี่คือพล็อตของฟังก์ชั่น

และ ploit ที่มีจุดวิกฤติ (และท่อระบายน้ำ)