คะแนน extrema และ saddle ของ f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) คืออะไร

ตอบ:

คำอธิบาย:

เรามี:

# f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) #

ขั้นตอนที่ 2 - ระบุจุดวิกฤติ

จุดวิกฤติเกิดขึ้นที่ทางออกพร้อมกันของ

# f_x = f_y = 0 iff (บางส่วน f) / (บางส่วน x) = (บางส่วน f) / (บางส่วน y) = 0 #

เช่นเมื่อ:

# f_x = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = 0 #

# => (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1) = 0 # ….. A

การแก้ปัญหา A และ B พร้อมกันเราได้คำตอบเดียว:

# x = y = 1 #

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่ามีจุดวิกฤติหนึ่งจุด:

# (1,1) #

ขั้นตอนที่ 3 - จำแนกจุดวิกฤติ

เพื่อจัดประเภทจุดวิกฤตเราทำการทดสอบคล้ายกับของแคลคูลัสหนึ่งตัวแปรโดยใช้อนุพันธ์ย่อยที่สองและ Hessian Matrix

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((บางส่วน ^ 2 f) / (บางส่วน x ^ 2), (บางส่วน ^ 2 f) / (บางส่วน x บางส่วน y)), ((บางส่วน ^ 2 f) / (บางส่วน y บางส่วน x), (บางส่วน ^ 2 f) / (บางส่วน y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

จากนั้นขึ้นอยู่กับมูลค่าของ # # เดลต้า:

# {: (เดลต้า> 0, "มีค่าสูงสุดถ้า" f_ (xx) <0), (, "และค่าต่ำสุดถ้า" f_ (xx)> 0), (เดลต้า <0, "มีจุดอาน"), (Delta = 0, "จำเป็นต้องทำการวิเคราะห์เพิ่มเติม"):} #

การใช้แมโคร excel ที่กำหนดเองค่าฟังก์ชันพร้อมกับค่าอนุพันธ์บางส่วนจะถูกคำนวณดังนี้: