อนุพันธ์ของ f (x) = ln (sin ^ -1 (x)) คืออะไร?

อนุพันธ์ของ f (x) = ln (sin ^ -1 (x)) คืออะไร?
Anonim

ความคิดเห็นด้านที่จะเริ่มต้นด้วย: สัญกรณ์ # บาป ^ -1 # สำหรับฟังก์ชันผกผันไซน์ (ชัดเจนยิ่งขึ้นฟังก์ชันผกผันของข้อ จำกัด ของไซน์ถึง # - ปี่ / 2 ปี่ / 2 #) แพร่หลาย แต่ทำให้เข้าใจผิด แท้จริงแล้วการประชุมมาตรฐานสำหรับเลขชี้กำลังเมื่อใช้ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ (เช่น # sin ^ 2 x: = (sin x) ^ 2 # แนะนำว่า #sin ^ (- 1) x # คือ # (sin x) ^ (- 1) = 1 / (sin x) #. แน่นอนมันไม่ได้ แต่สัญกรณ์จะทำให้เข้าใจผิดมาก สัญกรณ์ทางเลือก (และที่ใช้กันทั่วไป) #arcsin x # ดีกว่ามาก

ตอนนี้หาอนุพันธ์ นี่คือคอมโพสิตดังนั้นเราจะใช้กฎลูกโซ่ เราจะต้องการ # (ln x) '= 1 / x # (ดูแคลคูลัสของลอการิทึม) และ # (arcsin x) '= 1 / sqrt (1-x ^ 2) # (ดูแคลคูลัสของฟังก์ชันตรีโกณฯ ผกผัน)

ใช้กฎลูกโซ่:

# (ln (arcsin x)) '= 1 / arcsin x times (arcsin x)' = 1 / (arcsin x sqrt (1-x ^ 2)) #.