ตอบ:
เพื่อให้ด้านที่สามนั้นสั้นที่สุดเราต้องการ # (1 + sqrt2) | ข |> ABSA> absb # (และนั่น # A # และ # B # มีสัญลักษณ์เหมือนกัน)
คำอธิบาย:
ด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉากคือด้านตรงข้ามมุมฉาก เรารู้ว่าความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร # a ^ 2 + B ^ 2 #
ปล่อยให้ความยาวด้านที่ไม่รู้จักเท่ากับ # c. # แล้วจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสเราก็รู้
# (2AB) ^ 2 + C ^ 2 = (a ^ 2 + B ^ 2) ^ 2 #
หรือ
# c = sqrt ((ก ^ 2 + B ^ 2) ^ 2- (2AB) ^ 2) #
#COLOR (สีขาว) c = sqrt (ก ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2 + B ^ ^ 4-4a 2b ^ 2) #
#COLOR (สีขาว) c = sqrt (ก ^ ^ 4-2a 2b ^ 2 + B ^ 4) #
#COLOR (สีขาว) c = sqrt ((ก ^ 2-B ^ 2) ^ 2) #
#COLOR (สีขาว) c = a ^ 2-B ^ 2 #
นอกจากนี้เรายังต้องการให้ความยาวด้านทั้งหมดเป็นค่าบวกดังนั้น
- # a ^ 2 + B ^ 2> 0 #
# => a! = 0 หรือ b! = 0 #
- # 2AB> 0 #
# => a, b> 0 หรือ a, b <0 #
- # c = a ^ 2-B ^ 2> 0 #
# <=> a ^ 2> ข ^ 2 #
# <=> ABSA> absb #
ตอนนี้สำหรับ ใด สามเหลี่ยมด้านที่ยาวที่สุด ต้อง จะสั้นกว่า รวม ของอีกสองด้าน ดังนั้นเราจึงมี:
#color (white) (=>) 2ab + "" c color (white) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2AB + (a ^ 2-B ^ 2)> a ^ 2 + B ^ 2 #
# => 2ab สี (ขาว) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #
# => {(a> b "," ถ้า b> 0), (a <b "," ถ้า b <0):} #
ยิ่งกว่านั้นสำหรับด้านที่สามจะเล็กที่สุด # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #
หรือ # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # หรือ # a-b <sqrt2b # หรือ #a <b (1 + sqrt2) #
เมื่อรวมข้อ จำกัด เหล่านี้เข้าด้วยกันเราสามารถสรุปได้ว่าเพื่อให้ด้านที่สามนั้นสั้นที่สุดเราต้องมี # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb และ (a, b <0 หรือ a, b> 0) #
