คำถาม # 059f6

คำถาม # 059f6
Anonim

ตอบ:

#f (x) = sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (x- 1) ^ (2k + 1) #

คำอธิบาย:

การพัฒนาฟังก์ชั่นของเทย์เลอร์ # F # ที่ # A # คือ #sum_ (i = 1) ^ (oo) f ^ ((n)) (a) / (n!) (xa) ^ n = f (a) + f '(a) (xa) + f ^ ((2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + … #.

โปรดทราบว่ามันเป็นซีรีย์ด้านพลังงานดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องมาบรรจบกัน # F # หรือแม้แต่มาบรรจบกันที่อื่นที่ # x = a #.

ก่อนอื่นเราต้องการอนุพันธ์ของ # F # ถ้าเราต้องการลองเขียนสูตรจริงของซีรี่ส์ Taylor

หลังจากแคลคูลัสและหลักฐานการเหนี่ยวนำเราสามารถพูดได้ว่า #AAk ใน NN: f ^ ((2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) ^ (k) xsin (x-1) # และ #f ^ ((2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) #.

ดังนั้นหลังจากที่เรียบง่ายหยาบและเล็ก ๆ น้อย ๆ ดูเหมือนว่าชุดของเทย์เลอร์ # F # คือ #sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) บาป (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (x-1) ^ (2k +1) #.