คุณประเมิน [(1 + 3x) ^ (1 / x)] อย่างไรเมื่อ x เข้าใกล้อนันต์

ตอบ:

#lim_ (xrarroo) (1 + 3x) ^ (1 / x) = 1 #

คำอธิบาย:

จะใช้เคล็ดลับที่ดีที่ใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่าฟังก์ชั่นชี้แจงและบันทึกธรรมชาติที่มีการดำเนินการผกผัน ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้ทั้งสองอย่างได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนฟังก์ชั่น

#lim_ (xrarroo) (1 + 3x) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) e ^ (ln (1 + 3x) ^ (1 / x)) #

การใช้กฎเลขชี้กำลังของเลขชี้กำลังเราสามารถทำให้พลังงานลดลงได้:

#lim_ (xrarroo) จ ^ (1 / XLN (1 + 3x)) #

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นแบบต่อเนื่องเพื่อให้สามารถเขียนสิ่งนี้เป็น

# อี ^ (lim_ (xrarroo) 1 / XLN (1 + 3x)) #

และตอนนี้ก็จัดการกับขีด จำกัด และอย่าลืมกลับไปที่เลขชี้กำลัง

#lim_ (xrarroo) 1 / xln (1 + 3x) = lim_ (xrarroo) (ln (1 + 3x)) / (x) #

ขีด จำกัด นี้เป็นรูปแบบที่ไม่แน่นอน # OO / OO # ดังนั้นใช้ L'Hopital's

#lim_ (xrarroo) (ln (1 + 3x)) / x = lim_ (xrarroo) (d / (dx) (ln (1 + 3x))) / (d / (dx) (x)) = lim_ (xrarroo)) (3 / (1 + 3x)) = 0 #

ดังนั้นขีด จำกัด ของเลขชี้กำลังเป็น 0 ดังนั้นขีด จำกัด โดยรวมจึงเป็น # อี ^ 0 = 1 #